Задачка на свопы

[finchy]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить такую задачку:
Компания $A$ и компания $B$ с одинаковым кредитным рейтингом заключили $19$ апреля между собой процентный своп на один год номиналом 500 млн. долл. Компания $A$ обязуется уплачивать в свопе твердую ставку, а компания $B$ трехмесячную ставку $LIBOR$. Платежи по свопу начисляются с 19 апреля и осуществляются $19$ июля, $19$ октября текущего года и $19$ января, $19$ апреля следующего года. В первом периоде $91$ день, во втором $92$ дня, в третьем 92 дня и в четвертом 91 день. Платежи по плавающей ставке начисляются из расчета фактическое $\frac{\mbox{количество дней в расчетном периоде}}{360\ \mbox{дней в году}}$. Платежи по твердой ставке начисляются из расчета $\frac{30\ \mbox{ дней в месяце}}{360\ \mbox{дней в году}}$. Конъюнктура ставок спот $19$ апреля представлена в таблице:
\begin{tabular}{ll} LIBOR & \mbox{Ставка} \\ \mbox{3 мес} & 5.6 \\ \mbox{6 мес} & 5.8 \\ \mbox{9 мес} & 5.98 \\ \mbox{12 мес} & 6.13 \end{tabular}
Определить величину твердой ставки в свопе, которую должна уплачивать компания $A$.

Непонятны пока следующие аспекты: Компания $B$ 19 июля уплачивает 3-месячную ставку LIBOR относящуюся к 19 апреля; 19 октября уплачивает 3-месячную ставку LIBOR, относящуюся к 19 июля и т.д.
Но в таблице нам даны 3-, 6-, 9-я и 12-месячные ставки, относящиеся к 19 апреля. Как по ним вычислить соответствущие ставки? Их можно было бы вычислить, если бы мы знали безрисковую процентную ставку, а она нам не дана.

[finanzmaster]

А для чего вообще (с экономической точки зрения) нужны Interest Rate Swap'ы ?

finchy писал(а):

Но в таблице нам даны 3-, 6-, 9-я и 12-месячные ставки, относящиеся к 19 апреля. Как по ним вычислить соответствущие ставки? .

Подсказка, "правильный" вопрос - "Как по ним вычислить соответствущие трехмесячные форвардные ставки?"

[finchy]

finanzmaster писал(а):

А для чего вообще (с экономической точки зрения) нужны Interest Rate Swap'ы ?

finchy писал(а):

Но в таблице нам даны 3-, 6-, 9-я и 12-месячные ставки, относящиеся к 19 апреля. Как по ним вычислить соответствущие ставки? .

Подсказка, "правильный" вопрос - "Как по ним вычислить соответствущие трехмесячные форвардные ставки?"

Нужны, думаю, чтобы иметь фиксированный процент от номинала вместо плавающего Такова их суть.
А за идею спасибо. Я допустил ошибку, для подсчета форвардной ставки не нужна безрисковая процентная ставка. Я подсчитал форвардные трехмесячные ставки для каждого периода, они оказались равны $6.0\%, 6,34\%, 6,58\%$ (в предположении, что начисления для процентов - непрерывные). Тогда вычислив эти проценты от номинала, мы найдем объем выплат в виде денег, который производился 19 июня, октября, января и апреля.
Но ведь их надо дисконтировать в начало (т.е. в 19 апреля), а безрисковая ставка нам неизвестна.

Правильно ли я понимаю смысл задачи: надо найти такую твердую ставку, при которой стоимость свопа будет равна нулю.

[finanzmaster]

finchy писал(а):

finanzmaster писал(а):

А для чего вообще (с экономической точки зрения) нужны Interest Rate Swap'ы ?

finchy писал(а):

Но в таблице нам даны 3-, 6-, 9-я и 12-месячные ставки, относящиеся к 19 апреля. Как по ним вычислить соответствущие ставки? .

Подсказка, "правильный" вопрос - "Как по ним вычислить соответствущие трехмесячные форвардные ставки?"

Нужны, думаю, чтобы иметь фиксированный процент от номинала вместо плавающего Такова их суть.

Можно, конечно, и так сказать. Но это скорее ответ на вопрос "что позволяет swap-контракт".
А вообще-то они нужны, чтобы избавиться от риска, связанного с изменением плавающей процентной ставки. Ну или с точки зрения спекулянта наоборот - чтобы получить доход, угадав динамику последней.

finchy писал(а):

А за идею спасибо. Я допустил ошибку, для подсчета форвардной ставки не нужна безрисковая процентная ставка. Я подсчитал форвардные трехмесячные ставки для каждого периода, они оказались равны $6.0\%, 6,34\%, 6,58\%$ (в предположении, что начисления для процентов - непрерывные). Тогда вычислив эти проценты от номинала, мы найдем объем выплат в виде денег, который производился 19 июня, октября, января и апреля.
Но ведь их надо дисконтировать в начало (т.е. в 19 апреля), а безрисковая ставка нам неизвестна.

Дисконтфактор получается через форварды.
Вот что говорит Википедия
[Discount factor in the previous period]/[1 + (Forward rate of the floating underlying asset in the previous period × Number of days in period/360)]

finchy писал(а):

Правильно ли я понимаю смысл задачи: надо найти такую твердую ставку, при которой стоимость свопа будет равна нулю.

Правильно. Но, похоже, не до конца понимаете, что происходит с плавающей процентной ставкой. Вот Вам дана Конъюнктура спот ставок на 19 апреля. А через три месяца она будет пересмотрена и может быть (к примеру, взятому с потолка) такой:
3 мес - 6.0
6 мес - 6.3
9 мес - 6.55
12 мес - 6.97
Еще через три месяца оно опять изменится.

Но у вас есть форвардные ставки - т.е.expectation рынка насчет того, что же будет;
они дадут Floating leg.



Вот только еще надо пересчитать из одного day count convention в другой.

[finchy]

Спасибо за ссылку в Википедии!
У меня возникла еще пара вопросов: мы хотим найти fixed interest rate - т.е. тот процент от номинала в 500 млн, который компания $A$ платит компании $B$? Или согласно обозначениям Википедии найти такой fixed interest rate: $PV_{fixed}=PV_{float}$?
Я правильно понимаю то, что понимается под решением?
И еще для того, чтобы пересчитать из одного day convention в другой, мне достаточно умножить LIBOR rate на $\frac{365}{360}$ либо искомый fixed interest rate на $\frac{360}{365}$?

[finanzmaster]

finchy писал(а):

Спасибо за ссылку в Википедии!
У меня возникла еще пара вопросов: мы хотим найти fixed interest rate - т.е. тот процент от номинала в 500 млн, который компания $A$ платит компании $B$? Или согласно обозначениям Википедии найти такой fixed interest rate: $PV_{fixed}=PV_{float}$?
Я правильно понимаю то, что понимается под решением?

В общем, похоже на правду, однако Вы слегка мечетесь
При этом выше Вы высказали вполне разумную мысль - "...смысл задачи: надо найти такую твердую ставку, при которой стоимость свопа будет равна нулю."
Давайте по шагам.

1) Основная идея свопа в том, что стороны обмениваются сериями платежей (Cashflows) - в нашем случае, совершаемых ежеквартально. Cashflow c твердой процентной ставкой называется fixed leg, c плавающей - floating leg.
Каждая серия таких платежей имеет свою стоимость (present value) на настоящий момент(= 19 апреля), в который и начинается сделка.
При этом справедливая цена (fair price) должна быть такой, что present value of the fixed leg = present value of the floating leg.

2) Посмотрим, как же посчитать present value of the fixed leg.
В нашем случае nominal account P = 500 млн
По условию задачи осуществляется 4 платежа, и т.к. ставка - твердая то само название говорит о том, что каждый раз будет выплачен фиксированый процент С от номинала P. Однако каждый платеж надо дисконтировать, при этом discount factors рассчитываются так
$df_1 = \frac{1}{(1 + f[0,3])}$
$df_2 = \frac{{df_1 }}{{(1 + f[3,3])}}$
$df_3 = \frac{{df_2 }}{{(1 + f[6,3])}}$
$df_4 = \frac{{df_3 }}{{(1 + f[9,3])}}$
где $f[x, 3]$ - форвард на три месяца по истечении x месяцев.
Это несколько отличается от того, что написано в Википедии, однако у нас первый платеж совершается только через три месяца после заключения сделки - и потому первый дисконтфактор будет не 1, а таким как я написал.
Таким образом, present value of the fixed leg будет \sum\limits_{i = 1}^4 {C \cdot P \cdot \frac{{90}} {{360}} \cdot df_i } и вынося $C$ за знак суммы считаем \sum\limits_{i = 1}^4 {P \cdot \frac{{90}} {{360}} \cdot df_i }


3) Для cashflow generated by the floating leg мы сталкиваемся с проблемой: процентная ставка плавающая (т.е. стохастическая). Поэтому мы заменяем ее значениями форвардов и считаем
\sum\limits_{i = 1}^4 {P \cdot f[3(i - 1),3] \cdot \frac{{t_i }} {{360}} \cdot df_i }

где вместо t_i
подставляем число дней в i-том периоде.

Все, теперь можем найти искомое $C$

finchy писал(а):

И еще для того, чтобы пересчитать из одного day convention в другой, мне достаточно умножить LIBOR rate на $\frac{365}{360}$ либо искомый fixed interest rate на $\frac{360}{365}$?

Нет.
Но тут я Вас попутал - в данном случае, как показывают рассуждения выше, ничего пересчитывать и не надо

P.S.
Если есть интерес - то попробуйте ответить на вопрос, зависит ли $C$ от $P$

[finchy]

Спасибо большое за развернутый ответ!!!
$C$ не зависит от $P$, т.к. в равенстве $PV_{float}=PV_{fixed}$ обе части сокращаются на $P$
(здесь $PV$ обозначает present value, а не $P\cdot V$, где мы можем сократить на $P$ )