ТФКП вычислить интеграл

[AiG]

Не очень понял тему, но попробовал решить (с помощью вычетов), и вот что получил.
Подскажите так или не так решать, думаю вообще ни чего не правильно.

Вычислить интеграл, если контур обходить против часовой стрелки.

$$\oint\limits_{\left\lvert z \right\rvert = 99} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} dz $$

Далее получаем точки:

$$ z= -100; -10; 10, $$

т.к. $\left\lvert z \right\rvert < 99$ , то будет только одна точка $ z=10 $.

$$\lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} = \frac{101}{0} = \infty $$

- полюс

$$ \operatorname{Res}[f(z); 10]= \lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z-10)(z+10)(z+100)}(z-10) = \lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z+10)(z+100)} = \frac{101}{2200} $$

$$ \operatorname{Res}= 2\pi i \sum\limits_{k=1}^{1} \operatorname{Res} [f(z); a_k] = 2\pi i \frac{101}{2200} = \frac{101 \pi i}{1100} $$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформите все формулы.
Звездочку не надо использовать вместо знака умножения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[NSKuber]

AiG в сообщении #1143004 писал(а):

$$\lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} = \frac{101}{0} = \infty $$

Ну, вообще говоря, могло получиться так, что полюс не простой, тогда вычет по-другому бы вычислялся. Но тут и на глаз видно, что простой.
Вычет для $z=10$ вычислен верно. А вот для второй точки внутри круга совсем не вычислен - потеряли вы её, ищите.

[alcoholist]

AiG в сообщении #1143004 писал(а):

$$ \operatorname{Res}= 2\pi i \sum\limits_{k=1}^{1} \operatorname{Res} [f(z); a_k] = 2\pi i \frac{101}{2200} = \frac{101 \pi i}{1100} $$

В левой части данной формулы должен искомый интеграл стоять. И в сумме вычет во втором полюсе должен быть, конечно.

[AiG]

NSKuber в сообщении #1143058 писал(а):

А вот для второй точки внутри круга совсем не вычислен - потеряли вы её, ищите.

Вторая точка $\left\lvert z \right\rvert =-10 $

$$\lim\limits_{ z \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z^2 -100)(z+100)} = \frac{101}{0} = \infty$$

- полюс

$$ \operatorname{Res}= \lim\limits_{ z \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z-10)(z+10)(z+100)} (z+10) = \lim\limits_{ z \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z-10)(z+100)} = - \frac{101}{1800}$$

Имея две точки получаем:

$$\int\limits_{\left\lvert z \right\rvert =99 }^{} \frac{z^2 +1 }{(z^2 -100)(z+100)} dz = 2\pi i \sum\limits_{k=1}^{2} \operatorname{Res} [f(z); a_k] = 2\pi i (\frac{101}{2200} - \frac{101}{1800}) = - \pi i \frac{202}{9900} $$

Так?

[alcoholist]

AiG в сообщении #1143093 писал(а):

Вторая точка $\left\lvert z \right\rvert =-10 $

ну, не модуль же

[AiG]

alcoholist в сообщении #1143095 писал(а):

ну, не модуль же

да, да, проглядел,
остальное все так?

[alcoholist]

AiG в сообщении #1143093 писал(а):

Так?

похоже

-- Ср авг 10, 2016 12:52:40 --

Для собственной уверенности вычислите вычет в $z=-100$ и в точке $z=\infty$.
Сумма всех вычетов должна быть нулевой.

[AiG]

Спасибо, все вышло