Задачи по комплексному анализу

[Hasek]

ewert в сообщении #1142617 писал(а):

Так, давайте по порядку. Выпишите формально все четыре слагаемых в интеграле, напишите, чему равна их сумма и потом разбирайтесь с каждым.

$\int\limits_{|z|=1} f(z) \log z dz = \int\limits_{\varepsilon}^1 f(x) \log x dx + \int\limits_1^{\varepsilon} f(x) \log x dx + \int\limits_{C_{\varepsilon}} f(z) \log z dz + \int\limits_{C_1} f(z) \log z dz,$
где $C_{\varepsilon}$ и $C_1$ -- контуры радиусов $\varepsilon$ и $1$ соответственно. Так как первый и вторый интегралы отличаются лишь порядком пределов интегрирования, то хочется сказать, что в сумме они дают ноль. Третий интеграл равен нулю при стремлении эпсилон к нулю.

ewert в сообщении #1142617 писал(а):

Кстати, $\log z$ по-русски выглядит безосновательно и, следовательно, непристойно.

Если честно, я ничего не понял... Вы хотите обратить внимание, что $\log$ обычно обозначают логарифм по основанию $10$, а для экспоненты принято $\ln$? Мне почему-то кажется, что здесь всё же речь про экспоненту, но я могу быть и не прав.

-- 07.08.2016, 20:08 --

Точнее так -- при стремлении эпсилон к нулю последние два интеграла стремятся к нулю, так как интеграл от голоморфной функции по замкнутому контуру, лежащему в односвязной области, равен нулю. Значит первые два в сумме отличны от нуля, но при такой форме записи я пока не понимаю, почему.

[Otta]

Hasek в сообщении #1142619 писал(а):

при стремлении эпсилон к нулю последние два интеграла стремятся к нулю, так как интеграл от голоморфной функции по замкнутому контуру, лежащему в односвязной области, равен нулю.

А что, подынтегральная функция голоморфна? С логарифмом в нуле все в порядке, да?

Второе слагаемое неверно в правой части. Чему равен логарифм на нижнем берегу разреза?

Ну и наконец, сумма всех четырех интегралов чему равна? почему одно и то же слагаемое фигурирует и слева, и справа? Вы интеграл по окружности собираетесь через себя же выразить?

[Hasek]

ewert в сообщении #1142440 писал(а):

Корни тут вообще не при чём. Вам надо только доказать, что прообраз любого замкнутого множества замкнут (фактически тут и доказывать нечего) и что прообраз любого ограниченного множества ограничен.

Понял наконец-то, и в самом деле задача элементарная. Прообраз замкнутого замкнут, потому что многочлен осуществляет непрерывное отображение. Ограниченность в принципе понятна, если мы "в лоб" подставим в него комплексное число как $x + i y$ и применим бином Ньютона.

$(x+iy)^n + a_{n-1}(x+iy)^{n-1}+\ldots+a_1(x+iy)+a_0 = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} (iy)^{k} + a_{n-1} \sum\limits_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^{n-1-k} (iy)^{k} + \ldots + a_1 (x+iy) + a_0$

То есть координаты прообраза какой-то точки по порядку не превосходят её же координат, так как основной вклад идёт от $a_1 (x+iy) + a_0$.

Hasek в сообщении #1142619 писал(а):

Вы хотите обратить внимание, что $\log$ обычно обозначают логарифм по основанию $10$, а для экспоненты принято $\ln$? Мне почему-то кажется, что здесь всё же речь про экспоненту, но я могу быть и не прав.

Тут я глупость написал, логарифм по основанию $10$ обычно обозначается как $\lg$, даже это почему-то забылось.

Otta в сообщении #1142621 писал(а):

А что, подынтегральная функция голоморфна? С логарифмом в нуле все в порядке, да?

Нет, моя ошибка.

Otta в сообщении #1142621 писал(а):

Ну и наконец, сумма всех четырех интегралов чему равна? почему одно и то же слагаемое фигурирует и слева, и справа? Вы интеграл по окружности собираетесь через себя же выразить?

Справа последним слагаемым не совсем интеграл по окружности, там есть разрез шириной в $2 \varepsilon$, который стремим к нулю. Если я правильно понимаю, что делаю, конечно.

[Otta]

Hasek в сообщении #1142640 писал(а):

Если я правильно понимаю, что делаю, конечно.

Нет, Вы неверно представляете себе построенный контур.

[Hasek]

Otta в сообщении #1142643 писал(а):

Hasek в сообщении #1142640 писал(а):

Если я правильно понимаю, что делаю, конечно.

Нет, Вы неверно представляете себе построенный контур.

Извините, пожалуйста, за качество моих художеств (набросал за полминутки схематично) -- это неправильный контур, да? Стрелками указано направление обхода.

[Otta]

Да это неважно, в конце концов. Можно и так рисовать и представлять, со всеми сопутствующими словами, но Вам не кажется, что при $\varepsilon\to 0$ контур будет стремиться именно к окружности? И что Вы в итоге насчитаете? у Вас искомый интеграл сократится.

Напишите ту строку, о которой мы так долго и так непродуктивно разговариваем, правильно.

[Hasek]

Otta в сообщении #1142654 писал(а):

Напишите ту строку, о которой мы так долго и так непродуктивно разговариваем, правильно.

До сих пор не понимаю

А вот так нельзя?
$\int\limits_{|z|=1} f(z) \log(z) dz = \log(z) |_{|z|=1} \cdot \int\limits_{|z|=1} f(z) dz - \int\limits_{|z|=1} \frac{f(z)}{z} dz = 2\pi i \cdot 0 - 2\pi i \cdot f(0)$

[Lia]

Hasek
Идите учебник перечитывать, а то я сейчас и эту тему полежать в стороне отправлю. Чтобы дозрела.