Задачи (окружность+прямая, гипербола, эллипс)

[Dmytro Sheludchenko]

Здравствуйте!Помогите ,пожалуйста, разобраться с тремя задачами по геометрии.
Первая задача: Найдите необходимое и достаточное условие того, что прямая $Ax+By+C=0$ не имеет общих точек с окружностью $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

Вторая задача: Докажите ,что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси.

Третья задача: При каком необходимом и достаточном условии уравнение $Ax^2+ By^2+2Cx+2Dy+E=0$ задает эллипс.
Дайте пожалуйста идеи решения задач.Заранее спасибо.

[Алексей К.]

Начнём с самого простого.

Dmytro Sheludchenko писал(а):

Первая задача: Найдите необходимое и достаточное условие того, что прямая A*x+B*y+C=0 не имеет общих точек с окружностью (x-a)^2+(y-b)^2=R^2.

Можно подойти алгебраически --- решить систему двух уравнений, что и есть поиск общих точек. Потом найти условия, при которых решения нет.
Геометрически --- нагляднее и, возможно, проще (по сути, готовенький результат, минуя решение этой системы). Центр окружности, точка $(a,b)$, удалён от прямой на расстояние, большее $R$.
Расстояние от точки до прямой знаем?

[Dmytro Sheludchenko]

Спасибо,первую задачу понял.

[Алексей К.]

Больно быстро. Я так не успею. И погулять охота. Точечки, о которых идёт речь, координаты ихние, уравнения --- в студию. Какие тут ещё могут быть идеи? (Директрисы и прочая --- в любом справочнике).
Ха --- одна идея появилась: ввиду симметрии всего центр окружности, если таковая существует, лежит в начале координат. И тогда останется посчитать расстояния. Одно расстояние. (Директрисы и прочая --- в любом справочнике).

Добавлено спустя 9 минут 34 секунды:

Dmytro Sheludchenko писал(а):

Третья задача:При каком необходимом и достаточном условии уравнение A*x^2+ B*y^2+2C*x+2D*y+E=0 задает эллипс.

$AB>0$ необходимо. Про $E$ надо додумать. "Думайте сами, решайте сами..."

Эллипс --- это круг, вписанный в квадрат размером 3х4.

Добавлено спустя 18 минут 41 секунду:

Впрочем, пусть эти сведения Вас не сбивают с толку. Решайте как если бы Вы об этом не знали.

[Jnrty]

Jnrty:

Dmytro Sheludchenko, на форуме полагается записывать формулы в формате \TeX (прочтите http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355). Разобраться с тем, как правильно написать Ваши формулы, можно за несколько минут. Исправьте своё первое сообщение и в дальнейшем не нарушайте правила. Иначе тема отправится в "Карантин".