Преобразование Фурье для периодической функции

[Seergey]

Иногда для спектрального анализа используется преобразование Фурье или ряды Фурье. А если функция периодическая, то она раскладывается в ряд Фурье. Тогда какой физический смысл именно преобразование Фурье, где интегрируется по непрерывным частотам в бесконечных пределах? Например, преобразование Фурье от синуса это две дельта функции. Вопрос относится к расчету спектральной мощности излучения периодически движущегося заряда.

[Munin]

Seergey в сообщении #1141968 писал(а):

Вопрос относится к расчету спектральной мощности излучения периодически движущегося заряда.

Если заряд движется периодически, то всё как раз просто: вы можете спокойно пользоваться рядом Фурье.

Seergey в сообщении #1141968 писал(а):

Тогда какой физический смысл именно преобразование Фурье

Преобразование Фурье - это на случай, если функция непериодическая.

Попробуйте рассуждать в обратную сторону. Если мы берём несколько синусоид, и складываем их, у нас может получиться либо периодический результат, либо непериодический. Если периодический - есть период, которому соразмерны все периоды синусоид. Тогда можно взять ряд Фурье по этому периоду. Если результат непериодический - то ничего не поделаешь. Зато можно эту процедуру обобщить до сложения бесконечного и непрерывного множества синусоид - таких, чтобы они заполняли какой-то интервал частот. Этим можно добиваться интересных результатов, например, волновых пакетов, уходящих в нуль на больших временах (координатах). Для этого необходимо преобразование Фурье.

Если теперь посмотреть на физическую реальность, то в жизни практически никогда не случается синусоид "от бесконечности до бесконечности". Где-то такая синусоида начинается, и где-то заканчивается. Это относится и к экспериментальным ситуациям (когда-то включают генератор, когда-то выключают), и к природным. Следовательно, это синусоида, модулированная амплитудной функцией, уходящая в нуль на бесконечностях, - по сути, волновой пакет. По преобразованию Фурье, он занимает некоторую полосу частот - может быть, достаточно узкую, порядка $1/\Delta t,$ где $\Delta t$ - полное время от "включения" до "выключения" синусоиды. Если смотреть на этот спектр приближённо, то он может быть похож на дельта-функцию от настоящей синусоиды. Но рано или поздно нам может понадобиться обратить внимание и на его ширину.

[Seergey]

Можно сразу на примере гармонически колеблющегося электрона?

для векторного потенциала на дальних расстояниях известно $\pmb{A_w} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} \int_{-\infty}^{\infty} \pmb{v}(t) e^{i w t - i \pmb{k r}_0(t)} dt $
$\pmb{k} = k_0 \pmb{n}={w \over c} \pmb{n} $
$\pmb{n}$ - единичный вектор из начала СО в точку наблюдения
$\pmb{R}_o$ - радиус-вектор из начала СО в точку наблюдения, $R_o$ - его длина
$\pmb{r}_0(t)$ - радиус-вектор из начала СО в заряд

$\pmb{A_w} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} \int_{-\infty}^{\infty} \pmb{v}(t) e^{i w t} (1- i \pmb{k r}_0(t)+\ldots)dt$

В случае если скорость электрона задана $\pmb{v}(t)=v_0 \cos(w_0 t) \pmb{x}_0$, то

$\pmb{A_w} = {q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0} 2 \pi (\delta(w+w_0)+\delta(w-w_0))\pmb{x}_0-i k_0 {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} \int_{-\infty}^{\infty} v_0 \cos(w_0 t) e^{i w t} \pmb{n r}_0(t)dt \pmb{x_0}+$ на основной $w_0$ гармонике излучение дает только самое первое слагаемое, когда $\pmb{k r} \ll 1$ (амплитуда колебаний электрона мала по сравнению с длиной волны излучаемой им)
$\pmb{A_{1w_0}} = {q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0} 2 \pi (\delta(w+w_0)+\delta(w-w_0))\pmb{x}_0$

Или же правильно так: $\pmb{A_w} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} {w_0 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi \over w_0} v_0 \cos(w_0 t) e^{i w_0 n t} (1- i \pmb{k r}_0(t)+\ldots) dt \pmb{x}_0 $
тогда в излучение на основной гармонике с $n=1$ даст вклад опять только первое слагаемое, поэтому
$\pmb{A_{1w_0}} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} {w_0 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi \over w_0} v_0 \cos(w_0 t) e^{i w_0 t} dt \pmb{x}_0 = {q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0}\pmb{x}_0$

В первом случае, где дельта функции непонятно как дальше получить интенсивность излучения, а во втором случае все легко дальше получается.
Какой же смысл имеет выражение через дельта-функции и как с ними дальше действовать?

[Munin]

Пожалуйста, пишите \mathbf вместо \pmb - так будет намного красивей и общепринятей. (В некоторых старых книгах используется полужирный курсив, но сейчас это уже вышло из моды. И даже так, он лучше делается \boldsymbol , а не \pmb.) Знак $\ll$ пишется \ll . И наконец, частота - это греческая буква $\omega$ "омега" \omega , а вовсе не латинская буква $w$ - эта ошибка выдаёт неграмотность, избегайте её.

Видимо, вы не очень понимаете, что такое вообще дельта-функция. Вы сначала вычисляете $\mathbf{A}_\omega$ - это функция от частоты как от непрерывной переменной. Её ещё можно было бы записать $\mathbf{A}(\omega).$ И вот она у вас получается с дельта-функциями. Не $\mathbf{A}_{1\omega_0}$ получается с дельта-функциями, а именно $\mathbf{A}_\omega$!

Теперь, что означают эти дельта-функции? Что эта функция $\mathbf{A}_\omega$ везде равна нулю - везде, кроме нескольких точек. А какие значения она принимает в этих точках? Бесконечность с коэффициентом - и вот этот коэффициент уже равен $\mathbf{A}_{1\omega_0}.$ В нём уже приравнено $\omega_0\to 1\omega_0.$ Потому что когда вы смотрите на дельта-функцию, она говорит: "приравнять аргумент к нулю". Если вы приравняли аргумент к нулю, то берёте коэффициент перед дельта-функцией - это будет очередная составляющая спектра. А если вы отошли к другой величине $\omega,$ то сама дельта-функция вычёркивается.

Поэтому интенсивность излучения вы можете вычислять "по второму случаю", по первому получится то же самое. Пока у вас периодический сигнал, не заботьтесь о том, как вычислять его иначе. А когда будет непериодический - то возникнет какой-то интеграл по $d\omega,$ который будет браться по непрерывному спектру или по дельта-функциям. Дельта-функции легко интегрировать. Но можете отложить пока это на потом.

[Seergey]

Да, есть проблемы с дельта-функциями. Я не понимаю как так получается бесконечность с коэффициентом. Это же и есть бесконечность. Как формально получить $\mathbf{A}_{1\omega_0}$ из $\mathbf{A}_{\omega}$? Проинтегрировать по всем частотам?

$\mathbf{A}_{\omega}$ получается с дельта-функцией, а как иначе, если плотность тока периодическая функция и она нигде не обрезается до нуля.

-- 04.08.2016, 15:50 --

И еще такой вопрос. Когда поля обычные, то вектор пойнтинга $\mathbf{P}={c \over 4 \pi} [\mathbf{E} \times \mathbf{H}]$, а когда комплексные, то с учетом усреднения по времени $\mathbf{P}={c \over 8 \pi} [\mathbf{E} \times \mathbf{H^{*}}]$.
А как это связано с компонентами Фурье? Как для отдельной гармоники $\mathbf{E}_\omega$ и $\mathbf{H}_\omega$ или $\mathbf{A}_\omega$ получить соответствующий ей вектор $\mathbf{P}_\omega$? Получается что при преобразовании Фурье происходит автоматический переход к комплексным амплитудам?

И если я найду $\mathbf{P}_\omega$ через $\mathbf{A}_\omega$, то это будет уже усреднено по времени?

[Munin]

Seergey в сообщении #1142011 писал(а):

Да, есть проблемы с дельта-функциями. Я не понимаю как так получается бесконечность с коэффициентом. Это же и есть бесконечность.

По сути да, это бесконечность. Но нам важна не сама эта бесконечность, а интеграл от неё. А он будет $\int \delta(x-x_0)\,dx=1.$ А с коэффициентом, соответственно, $\int C\,\delta(x-x_0)\,dx=C.$ То есть, с точки зрения интегралов, это "разные бесконечности".

На самом деле, дельта функция - это "незаконная функция". Таких функций не бывает. И чтобы с ними всё-таки как-то обращаться, разработали математический аппарат обобщённых функций (у них есть ещё другое название distributions - распределения).

Seergey в сообщении #1142011 писал(а):

Как формально получить $\mathbf{A}_{1\omega_0}$ из $\mathbf{A}_{\omega}$?

Никак. Только "глазами увидеть". Ведь это всего лишь одна составляющая, одно слагаемое, а в функции $\mathbf{A}_{\omega}$ их может быть много. А может и не быть ни одного.

Можно формально выяснить, есть ли там такое слагаемое, и если да, то чему оно равно. Для этого надо взять $\int\mathbf{A}_{\omega}\,d\omega$ по отрезку вокруг частоты $1\omega_0,$ и устремить этот отрезок к нулю. Если в пределе интеграл останется ненулевым - вы поймали дельта-слагаемое.

Seergey в сообщении #1142011 писал(а):

Получается что при преобразовании Фурье происходит автоматический переход к комплексным амплитудам?

Примерно так. Дело в том, что есть действительные преобразования Фурье: синусное и косинусное. А есть комплексное преобразование Фурье - по экспонентам. Между собой они связаны по очевидным соотношениям типа $\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2.$ То есть, если у нас есть действительная синусоида, то после комплексного п.Ф. она даст две частоты: положительную и отрицательную (что вы и получили в дельта-функциях). Поскольку они строго равны между собой, отрицательные не рассматривают, а отбрасывают (надо не забыть двойку). Но тогда после обратного преобразования у вас получатся не действительные колебания и амплитуды, а комплексные - и от них уже надо будет отбросить мнимую часть.

Можно было бы делать все выкладки в строго действительных п.Ф. ($\sin\text{ и }\cos$). Но во-первых, это муторнее - формул писать как минимум в два раза больше, - а во-вторых, многие формулы в экспонентах записываются гораздо компактней и красивей, чем в тригонометрии. Поэтому, в физике принято использовать комплексное п.Ф., и не заморачиваться (а отбросить мнимую часть можно на самом последнем этапе).

[Seergey]

Дело в том, что в Ландау там формула для интенсивности $dI = {c \over 4\pi} |\mathbf{H}|^2 r^2 d \Omega$, а для интенсивности по гармоникам $dI_n = {c \over 2\pi} |\mathbf{H_n}|^2 r^2 d \Omega$. На двойку домножается из-за этих самых парных гармоник $-n$ и $n$. Никак только не пойму если амплитуды $\mathbf{H_n}$ у него комплексные, то почему обратно на двойку не делится

Т.е. из $\mathbf{A}_{\omega}$ он получает $\mathbf{H}_{\omega}$ следующим образом:
$\mathbf{H}_{\omega}=i k_0 [\mathbf{n} \times \mathbf{A}_{\omega}]$, но $\mathbf{A}_{\omega}$ это комплексная амплитуда или обычная?

Если это обычная, то все правильно, но он также использует формулу $\overline{\mathbf{H}^2} =\sum_{-\infty}^{\infty}\mathbf{|H_n|}^2=2\sum_{1}^{\infty}\mathbf{|H_n|}^2$ которае вроде как для комплексных амплитуд

более того, когда я беру $\mathbf{A_\omega} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{v}(t) e^{i \omega t } dt $ и затем $\mathbf{A_{1\omega_0}} = \int_{-\infty}^{\infty} {q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0} 2 \pi (\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0))d\omega\mathbf{x}_0={q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0} 4 \pi \mathbf{x}_0 $ я получаю комплексную амплитуду? (она что-то не сходится с правильной) (и интегрирую по всем частотам а не по окрестности $\omega_0$, потому что видно, что кроме как вблизи $\omega_0$ зануляется, а если бы еще были дельта-функции на удвоенных частотах, то получилось бы сумма комплексных амплитуд?)
А когда $\mathbf{A_{1\omega_0}} = {q e^{i k_0 R_o} \over c R_0} {\omega_0 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi \over \omega_0} v_0 \cos(w_0 t) e^{i \omega_0 t} dt \mathbf{x}_0 = {q v_0 e^{i k_0 R_o} \over 2 c R_0}\mathbf{x}_0$ то это какая амплитуда? Комплексная? И как тогда быть с формулой для интенсивности?

[Munin]

Seergey в сообщении #1142039 писал(а):

Никак только не пойму если амплитуды $\mathbf{H_n}$ у него комплексные, то почему обратно на двойку не делится

Они считаются действительными - то есть, комплексными с аргументом 0.

Seergey в сообщении #1142039 писал(а):

Если это обычная, то все правильно, но он также использует формулу $\overline{\mathbf{H}^2} =\sum_{-\infty}^{\infty}\mathbf{|H_n|}^2=2\sum_{1}^{\infty}\mathbf{|H_n|}^2$ которае вроде как для комплексных амплитуд

Мне кажется, вы путаетесь. Комплексность амплитуд тут ни при чём. Это просто формула, в которой сумма по частотам сначала была от минус бесконечности, а потом по положительным.

[Seergey]

Для плоской монохроматической волны в вакууме:

1. Обычный способ:
$\mathbf{E} = \mathbf{A} \cos(\omega_0 t)=A \cos(\omega_0 t) \mathbf{x_0}$, $\mathbf{H}=\mathbf{A} \cos(\omega_0 t)=A \cos(\omega_0 t) \mathbf{y_0}$
$\mathbf{P}={c \over 4\pi} [A \cos(\omega_0 t) \mathbf{x_0} \times A \cos(\omega_0 t) \mathbf{x_0}]={c \over 4\pi} A^2 \cos(\omega_0 t)^2 \mathbf{z_0}$
$\overline{\mathbf{P}}={c \over 4\pi} A^2 \int_0^{2 \pi \over \omega_0} \cos(\omega_0 t)^2 dt \mathbf{z_0}={c \over 8\pi} A^2 \mathbf{z_0}$

2. Комплексные амплитуды:
$\mathbf{E} = \operatorname{Re}\{\mathbf{A} e^{-i \omega_0 t}\} \sim \mathbf{\hat{A}}$, $\mathbf{H} \sim \mathbf{\hat{H}}$
$\overline{\mathbf{P}}={c \over 8\pi} [\mathbf{\hat{A}} \times \mathbf{\hat{A}}^*]={c \over 8\pi} A^2 \mathbf{z_0}

3. Преобразование Фурье:
$\mathbf{E_\omega}={1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(\omega_0 t) e^{i \omega_0 t} dt \mathbf{x_0}={A \over 2} (\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0))\mathbf{x_0}$
$\mathbf{H_\omega}={1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(\omega_0 t) e^{i \omega_0 t} dt \mathbf{y_0}={A \over 2} (\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0))\mathbf{y_0}$

А как теперь найти $\mathbf{P_{\omega=\omega_0}}$?
Какой смысл имеет запись $\mathbf{P_\omega}={c \over 4\pi} {A^2 \over 4} (\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0))^2 \mathbf{z_0} $?
Связано ли как-то $\mathbf{E_\omega}$ с комплексно-амплитудным $\mathbf{\hat{A}}$ и является ли $\mathbf{E_\omega}$ комплексным?