Корни уравнения.

[Charlz_Klug]

Задача:
Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ $\text{---}$ корни уравнения $x^3+px+q=0$. Доказать, что ${x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 = 3 x_1 x_2 x_3$.

Моё доказательство:
Из условия следует, что

$$\left\{ \begin{array}{rcl} {x_1}^3 &=& -p x_1 -q\\ {x_2}^3 &=& -p x_2 -q\\ {x_3}^3 &=& -p x_3 -q\\ \end{array} \right.$$

Из первого и второго уравнения системы получаем $p = - ({x_1}^2 + x_1 x_2 + {x_2}^2)$ и $q = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$, из первого и третьего: $p = - ({x_1}^2 + x_1 x_3 + {x_3}^2)$, $q = x_1 x_3 (x_1 + x_3)$, из второго и третьего: $p = - ({x_2}^2 + x_2 x_3 + {x_3}^2)$, $q = x_2 x_3 (x_2 + x_3)$. Теперь в первое уравнение подставим $p$ и $q$ из второго и третьго, во второе уравнение подставим $p$ и $q$ из первого и третьего, в третье уравнение подставим $p$ и $q$ из первого и второго:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1^3 &=& - (-(x_2^2+x_2 x_3 + x_3^2)) x_1 - x_2 x_3 (x_2 + x_3)\\ x_2^3 &=& - (-(x_1^2+x_1 x_3 + x_3^2)) x_2 - x_1 x_3 (x_1 + x_3)\\ x_3^3 &=& - (-(x_1^2+x_1 x_2 + x_2^2)) x_3 - x_1 x_2 (x_1 + x_2)\\ \end{array} \right.$$

Теперь сложим вместе $x_1^3$, $x_2^3$ и $x_3^3$:
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = x_2^2 x_1 + x_1 x_2 x_3 + x_3^2 x_1 - x_2^2 x_3 - x_3^2 x_2 + x_1^2 x_2 + x_1 x_2 x_3 + x_3^2 x_2 - x_1^2 x_3 - x_3^2 x_1 + x_1^2 x_3 + x_1 x_2 x_3 + x_2^2 x_3 - x_1^2 x_2 - x_2^2 x_1 = 3 x_1 x_2 x_3$
Сойдёт ли такое доказательство?

[Shadow]

Charlz_Klug, а не легче ли с формулой Виета.

[DeBill]

Charlz_Klug
$a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

[iifat]

Отвечая на вопрос ТС: доказательство совершенно правильно. И существование ещё одного, двух, двух тысяч и более правильных доказательств этого факта не отменяет

[Charlz_Klug]

DeBill в сообщении #1141504 писал(а):

$a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

Shadow в сообщении #1141451 писал(а):

а не легче ли с формулой Виета.

Тогда получается, что $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ и тогда $x_1^3+x_2^3 + x_3^3 - 3 x_1 x_2 x_3 = 0$, а значит, $x_1^3+x_2^3 + x_3^3 = 3 x_1 x_2 x_3$
Спасибо Вам за интересные мысли.
iifat, спасибо Вам за проверку!

[Shadow]

Charlz_Klug в сообщении #1141979 писал(а):

Тогда получается, что $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ и тогда

и тогда
$x_3=-(x_1+x_2)$
и тогда
$x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+x_2^3-(x_1+x_2)^3=$
Факторизацию, о котой писал DeBill, была важна для другой задачи. А здесь можно просто.