Температурные функции Грина и книга Цвелика

[Gickle]

Здравствуйте. Начал изучать книгу А.М. Цвелика "Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния" и тут же заимел проблемы. На странице 21 (издание на русском языке 2004 года) вводится такое понятие корреляционной функции:

$D(1,2) = $$\begin{cases} \pm \left\lbrace Z^{-1} \operatorname{Sp}\left(e^{-\beta \hat{H}} \hat{A}(\tau_1, x_1) \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2)\right) - \left\langle \hat{A}(\tau_1, x_1) \right\rangle \left\langle \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2) \right\rangle \right\rbrace,&\text{$\tau_1>\tau_2$;}\\ \, \, \, \, \, \, \left\lbrace Z^{-1} \operatorname{Sp}\left(e^{-\beta \hat{H}} \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2) \hat{A}(\tau_1, x_1)\right) - \left\langle \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2) \right\rangle \left\langle \hat{A}(\tau_1, x_1) \right\rangle \right\rbrace,&\text{$\tau_2 > \tau_1$.}\\ \end{cases} $$ $

И далее он пишет, что, мол, если рассматривать всё в базисе собственных функций гамильтониана, то ответ будет такой (при условии наличии трансляционной инвариантности у системы):
$ D(1,2) = \sum\limits_{n,m}\frac{e^{-\beta E_n}}{Z}\left\lvert \left\langle n \right\rvert \hat{A} (0) \left\lvert m \right\rangle \right\rvert^2 e^{i p_{mn} x_{12}} \left\lbrace \pm \theta (\tau_1 - \tau_2) \, e^{E_{nm} \tau_{12}} + \theta (\tau_2 - \tau_1) \,e^{E_{nm} \tau_{21}}\right\rbrace, $

где $E_{nm} = E_n - E_m$, $\tau_{12} = \tau_1 - \tau_2$ и т.д.

Решил не верить на слово и посчитал сам. Для случая $\tau_1 > \tau_2$:

$ $\operatorname{Sp}\left(e^{-\beta \hat{H}} \hat{A}(\tau_1, x_1) \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2)\right) = \sum\limits_{n,m,k}^{} \left\langle n \right\rvert e^{-\beta\hat{H}} \left\lvert k \right\rangle \left\langle k \right\rvert \hat{A} (\tau_1,x_1) \left\lvert m\right\rangle \left\langle m \right\rvert \hat{\bar{A}} (\tau_2,x_2) \left\lvert n \right\rangle = \\ = \sum\limits_{n,m}^{} e^{-\beta E_n} \left\langle n \right\rvert e^{\hat{H}\tau_1 } \hat{A} (x_1) e^{-\hat{H}\tau_1 } \left\lvert m\right\rangle \left\langle m \right\rvert e^{ \hat{H} \tau_2}\hat{A}^{+} (x_2) e^{- \hat{H}\tau_2} \left\lvert n \right\rangle = \sum\limits_{n,m}^{} e^{-\beta E_n} e^{E_{nm}\tau_{12}}\left\langle n \right\rvert e^{ -i \hat{p} x_1 } \hat{A} (0) e^{i \hat{p} x_1 } \left\lvert m\right\rangle \left\langle m \right\rvert e^{ -i \hat{p} x_2}\hat{A}^{+} (0) e^{i \hat{p}x_2} \left\lvert n \right\rangle = \\ = \sum\limits_{n,m}^{} e^{-\beta E_n} e^{E_{nm}\tau_{12}} e^{i p_{mn} x_{12}}\left\langle n \right\rvert \hat{A} (0) \left\lvert m\right\rangle \left\langle m \right\rvert \hat{A}^{+} (0) \left\lvert n \right\rangle = \sum\limits_{n,m}^{} e^{-\beta E_n} e^{E_{nm}\tau_{12}} e^{i p_{mn} x_{12}} \left\lvert \left\langle n \right\rvert \hat{A} (0) \left\lvert m\right\rangle \right\rvert^2 $


То есть получаем, по сути, то самое второе выражение. Ну и понятно, что в случае $\tau_2 > \tau_1$ тоже придём ко второму выражению. Напрашивается вопрос, а куда тогда девается часть с $ \left\langle \hat{A}(\tau_1, x_1) \right\rangle \left\langle \hat{\bar{A}}(\tau_2, x_2) \right\rangle$ ? Ну или, наверное, его стоит переформулировать в "где я напортачил"? Вообще говоря, в других книгах (например, в АГД) я всегда встречал определение функции Грина в виде среднего от T-произведения и матрицы плотности. То есть, если я правильно понимаю, там это именно аналог двухчастичной функции распределения, а здесь - именно что корреляционная функция (среднее от произведения минус произведение средних). Или как?

Ну и заодно второй вопрос задам. Там ещё фразой "можно убедиться" вводится вот такое соотношение:

$\beta \delta F = \int\limits_{0}^{\beta} d \tau \left\langle A(\tau) \right\rangle - \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\beta} d \tau_1 \int\limits_{0}^{\beta} d \tau_2 D(\tau_1,\tau_2) $

Здесь имеется в виду, что $\delta F$ - изменение свободной энергии при наличии возмущения $\hat{A}$ к свободному гамильтониану. Я как-то опять немного теряюсь, как это получить. Пытался идти от печки, взять выражение для свободной энергии:

$F = - \beta^{-1} \ln{\sum\limits_{n}{} e^{-\beta E_n}}$,

потом записать выражение для $E_n$, согласно теории возмущения (там на прошлой странице, собственно говоря, на это и намекается):

$E_n = E_n^{0} + \left\langle n \right\rvert \hat{A} \left\lvert n \right\rangle + \sum\limits_{n \neq m}^{} \frac{\left\lvert \left\langle n \right\rvert \hat{A}\left\lvert m\right\rangle \right\rvert^2}{E_n^{0} - E_m^{0}} + ... $

и попытаться разложить выражение для свободной энергии по малому параметру, потом выделить невозмущённую часть, а оставшееся "подогнать под ответ", но как-то не вышло. Пытался и с другого конца зайти, но тоже что-то не очень. Кроме того, я как-то не совсем понимаю, видимо, вот чего. Функция Грина, как мне казалось, записывается для операторов бозевского или фермиевского типов (ну, операторы рождения и уничтожения для соответствующих случаев то бишь). А здесь что, имеется в виду корреляционная функция для оператора возмущения? Не очень понимаю.

Извиняюсь за возможные опечатки и ошибки где-то (уставший писал) и вообще за то, что так много понаписал и понаспрашивал. Заранее благодарю за помощь.

P.S. Так до конца и не понял, как нормально пользоваться \eqno. Пытался использовать, но ставит нумерацию в упор, что бы я ни делал.
P.P.S. Можете заодно посоветовать какую-нибудь хорошую книгу, где рассказывается про использование квантовополевых методов в физике конденсированного состояния? Главным образом меня всякие там фазовые переходы II-го рода интересуют. Про АГД и ЛЛ (т.9) знаю, но они мне кажутся слегка староватыми и из-за этого тяжеловатыми для усвоения для неподготовленного читателя. Да, в идеале, конечно, чтобы книга была самодостаточной для изучения. У меня, конечно, есть некоторые представления о континуальных интегралах, фейнмановских диаграммах и прочем таком, но всё же.

[oniksofers]

Цитата:

Главным образом меня всякие там фазовые переходы II-го рода интересуют.

Можете посмотреть «Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике» А. Н. Васильев. Не уверен, что это совсем то, что вам нужно, но всё же.

[Gickle]

oniksofers
Спасибо большое, что напомнили об этой книге, она у меня даже скачана была, но в своё время по каким-то причинам (вероятно, тогда совсем не хватало уровня подготовки) отложил её в сторону.