Трубка

[dovlato]

Длинная сверхпроводящая трубка вносится в однородное магнитное поле, примерно перпендикулярно линиям поля.
Предоставленная сама себе, она совершает малые угловые колебания вокруг своего центра масс.
Потом трубку поворачивают, ставят примерно вдоль поля и отпускают.
Сравнить максимальную угловую скорость, которой она достигнет, с частотой малых колебаний.

[AnatolyBa]

Очень интересная задача.
Как ни кручу, у меня получается равенство. Но рассказывать ход рассуждений пока не готов.

[dovlato]

У меня тоже получилось равенство.
Возможно, трубка - это моя ошибка. Возможно, лучше заменить её на закороченный соленоид.
Пожалуй, и необходимость сверхпроводимости неочевидна.
В нескольких словах о соображениях, на ваш суд. Если горизонтальный соленоид повернуть на некоторый угол,
то в нём возникнет индукционный ток. Что породит вращающий момент, стремящийся вернуть его обратно.
Далее всё более-менее традиционно.

[AnatolyBa]

Трубка меня смутила. Мне почему-то показалось сначала, что поле может проникнуть внутрь. Пришлось доказывать, что все-таки нет.
В моих рассуждениях сверхпроводимость (т. е. то, что поле не проникает в трубку) принципиальна для получения количественного результата.

dovlato в сообщении #1140977 писал(а):

Если горизонтальный соленоид повернуть на некоторый угол,
то в нём возникнет индукционный ток

Ну, если не поворачивать, то тоже возникнет. Вопрос в том какой. Но, видимо, рассуждения на основе индуцированного магнитного момента наиболее рациональны и приводят к практически устному решению. Мне, однако, вначале эти соображения показались не очень обоснованными (хотя это зря), и в конце концов я вычислил вращающий момент с помощью тензора Максвелла, правда только для цилиндрической трубки. Также я думал об энергетических соображениях, но не думаю, что это вполне корректно; кроме того у меня вылезли бесконечности с которыми я не справился, хотя качественно эффект виден

[dovlato]

Спасибо. Я, конечно, оставался на чисто качественном уровне модели длинного соленоида.
Задавшись значением индукции поля, объёмом трубки и её моментом инерции, легко получить частоту угловых колебаний.
А также вращающий момент для произвольного (не малого) угла поворота трубки. Наибольшее значение будет при повороте на 45 градусов.
И работу, необходимую для произвольного поворота.

[AnatolyBa]

Ну да, вращающий момент пропорционален $\sin \alpha \cos \alpha$ ($\alpha$ - угол между осью трубки и полем). С помощью натяжений Максвелла можно вычислить коэффициент пропорциональности (для цилиндра, во всяком случае), но точный коэффициент не нужен для решения задачи. Можно рассуждать так. Наведенный магнитный момент (направленный по оси трубки и вызванный круговыми токами) пропорционален $\cos \alpha$, это нужно, чтобы скомпенсировать аксиальное поле внутри. Вращающий момент пропорционалем магнитному моменту и $\sin \alpha$, получается $\sin \alpha \cos \alpha$ . Но это не все. Я считаю, что поле внутри нулевое. Т. е. будут еще течь продольные токи, создающие магнитный момент перпендикулярный трубке. Для него однако те же рассуждения опять же дают $\sin \alpha \cos \alpha$

[dovlato]

А если вместо трубки взять закороченный соленоид, то уже останутся только круговые токи. И следовательно - внутри поле уже не будет нулевым.
Там останется, видимо, составляющая, перпендикулярная оси. Ну а вращающие моменты должны остаться теми же.

[Батороев]

Трубку можно рассматривать, как один замкнутый контур, соленоид - как некоторое количество таких контуров.

-- 01 авг 2016 10:48 --

Для решения задачи со сверхпроводящей трубкой по-видимому потребуются дополнительные условия, например, как в задаче 1.

[AnatolyBa]

dovlato в сообщении #1141199 писал(а):

А если вместо трубки взять закороченный соленоид

Не могли бы вы пояснить, что вы имеете в виду? Спиральную катушку, где первый виток закорочен с последним, или множество изолированных витков?
В принципе, будет ли поперечное поле или нет - на решение практически не влияет. Но я не думаю, что в случае сверхпроводящего соленоида у поля есть шанс появиться.
Внутри провода возникнут круговые токи вокруг оси провода - вплоть до потери сверхпроводимости для тонких проводов (из реального сверхпроводника, где имеется критическое поле).
А если соленоид не сверхпроводящий, тогда задача сильно усложняется из-за сопротивления, затухания токов

[dovlato]

AnatolyBa, да, я представлял себе любой вариант из первой строчки.
Мне кажется, из-за активного сопротивления в левой части колебательного ДУ просто появится слагаемое с 1й производной,
т.е. будут затухающие колебания наподобие тех, что колеб. контуре. И, значит, тоже может появиться своя "добротность".

-- Пн авг 01, 2016 22:57:53 --

Батороев, именно из-за этих тонкостей я, не будучи специалистом, сюда и пришёл.

-- Пн авг 01, 2016 23:01:37 --

Кстати, может, кто знает. Каков поток собственного поля у кругового витка с током?
Провод тонкий, но однако не нулевого радиуса (а то, боюсь, там начнутся расхождения).
Многие задачи упираются в это.

[AnatolyBa]

dovlato в сообщении #1141499 писал(а):

Кстати, может, кто знает. Каков поток собственного поля у кругового витка с током?

Это вас индуктивность витка интересует (коэффициент самоиндукции)? Я писал об этом в topic108466.html

dovlato в сообщении #1141499 писал(а):

Мне кажется, из-за активного сопротивления в левой части колебательного ДУ просто появится слагаемое с 1й производной,
т.е. будут затухающие колебания наподобие тех, что колеб. контуре. И, значит, тоже может появиться своя "добротность".

Боюсь, что не только это. Каково начальное состояние трубки с конечным сопротивлением если ее внесли в поле не торопясь?
Поле полностью проникло внутрь. Дальше можно по трубке стукнуть, чтобы начались колебания, но каковы они будут? Очень грубо для малых колебаний наведенный магнитный момент будет пропорционален $\alpha$, а вращающий момент пропорционален $\alpha^2$. Диссипация энергиии тоже будет пропорциональна $\alpha^2$. Нет, качественно порассуждать можно, но за количественное (не численное) решение я не берусь

[dovlato]

Мой акт веры - чем длиннее соленоид, тем качественные рассуждения точнее.
Спасибо за виток. Действительно, при уменьшении диаметра провода начинается сползание в бесконечность.

[dovlato]

Можно сформулировать похожую задачу для сверхпроводящего витка. И оценить мощность излучения при колебаниях.

[Theoristos]

Длинный соленоид можно приблизить двумя магнитными зарядами на концах