Геометрический смысл транспонирования связан с двойственными пространствами.
Если у нас есть оператор

, то можно определить сопряженный оператор

следующим образом:

(я обозначаю

спаривание ковектора и вектора). Геометрически ковектор - это измеритель того, насколько вектор перемещает нас вдоль какого-то одного направления, не обращая внимание на другие. И если у нас есть оператор

, и способ измерять векторы в

, то можно перенести эти измерения на

.
Если выбрать базисы в

и

, то в

и

определяются двойственные базисы, и матрица

в этих двойственных базисах будет транспонированной матрицей оператора

в исходных.
-- Пт июл 29, 2016 18:35:08 --В принципе, любую матрицу можно разложить на произведение двух: одна "поворачивающая", а другая "растягивающая вдоль осей".
Это неправда. Либо имелось в виду QR, и тогда вторая матрица не "растягивающая", а "скашивающая", либо имелось в виду SVD, и тогда "поворачивающих" матриц две.