Глупый вопрос про мультипольное разложение

[Metford]

madschumacher в сообщении #1140806 писал(а):

И где про это можно прочитать?

Двумерная ситуация в электростатике часто моделируется равномерно заряженными нитями - тогда в любом перпендикулярном нити сечении картина получается одна и та же. А потенциал поля нити вычислить очень просто. Ну, скажем, теоремой Гаусса можно воспользоваться - вычислить напряжённость, а по ней определить потенциал. Получится логарифм. Это описано в самом захудалом учебнике по электричеству. Хотя ладно, в самом захудалом - может быть и нет - но такой случай брать не будем.

Дальнейшие расчёты можно вести, отталкиваясь от этого. Это на простом уровне. А вообще, берутся электростатические уравнения - вроде уравнения Пуассона. В двумерном и трёхмерном случае его решения имеют хорошо отличающиеся свойства. Это уже в тему уравнений в частных производных.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1140806 писал(а):

К своему стыду не знал, что в 2D случае Кулоновский потенциал имеет другой вид (но логарифм чуть попроще будет даже, чем $1/r$ в этом случае). А он так же имеет вид для 2х зарядов $V=k q_1 q_2 \ln(r)$ или там какие-то другие коэффициенты? И где про это можно прочитать?

В учебнике ураматов (или дифференциальных уравнений в частных производных - если вы фанатик математики для математиков).
Суть в том, что в $D$-мерном пространстве электростатика описывается $D$-мерным же уравнением Лапласа (в пустом пространстве)

$$\Delta_D\varphi=\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2}\varphi+\dfrac{\partial^2}{\partial x_2^2}\varphi+\ldots+\dfrac{\partial^2}{\partial x_D^2}\varphi=0$$

или Пуассона (в пространстве с зарядами)

$$\Delta_D\varphi=\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2}\varphi+\dfrac{\partial^2}{\partial x_2^2}\varphi+\ldots+\dfrac{\partial^2}{\partial x_D^2}\varphi=\rho.$$

Для точечного заряда, в правой части уравнения Пуассона ставится $q\,\delta(\mathbf{r}),$ или решается уравнение Лапласа в области бесконечного пространства с одной выколотой точкой (величина заряда при этом фиксируется как константа интегрирования). Результаты такие:

$$\begin{aligned} D&=1\colon&\varphi&=-q\,r \\ D&=2\colon&\varphi&=q\ln\dfrac{r}{r_0} \\ D&>2\colon&\varphi&=\dfrac{q}{(D-2)\sigma_{{}_D}\,r^{D-2}},&\sigma_{{}_D}&=\dfrac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)} \\ \end{aligned}$$

Полянин А.Д. Справочник по лийненым уравнениям математической физики. 2001.
из серии справочников Полянина А.Д., Зайцева В.Ф..

-- 29.07.2016 15:00:46 --

madschumacher в сообщении #1140809 писал(а):

А так может даже и правильнее

Нет, в вашем случае - точно нет.

У вас надо как-то лепить решение из двух анзацев: частица в разрезе заряженного колечка (разрез больше расстояния от частицы до колечка, но меньше радиуса колечка), и частица в окрестности "бесконечной нитки бус" - точечных зарядов по прямой линии. Второе не уверен, что хорошо изображается, но там тоже можно чего-то наупрощать.

[madschumacher]

Ой... а это же вроде похоже на объемы $D$-мерной сферы (только вроде обратные). Сейчас припоминаю, из того, что на УрМФ мы обсуждали про решения уравнения Лапласа в разных размерностях. Но только сейчас немножечко дошло, что это связано с электродинамикой (через уравнение Пуассона)...
Очень интересно, в общем. Спасибо большое.
(правда стыд и позор мне, что этого не знал и не додумался )

[Munin]

madschumacher в сообщении #1140818 писал(а):

Ой... а это же вроде похоже на объемы $D$-мерной сферы (только вроде обратные).

Они и есть. Если вспомнить вывод через теорему Гаусса, то там как раз фигурирует поверхность сферы, через которую выходят силовые линии. И это будет во всех размерностях.