Геометрический смысл тензора кручения.

[Nirowulf]

Здравствуйте!

Возник глупый вопрос. В книге Родичева В. И. "Теория тяготения в ортогональном репере" (издание 1998 года, стр. 20) изложена следующая трактовка кручения:



Насколько она похожа на правду?=)

[Munin]

Меня настораживает, что сравниваются два вектора в разных точках многообразия.

[пианист]

Я себе это как-то так и представлял.
А что смущает? Вроде все очевидно.

[svv]

Заменить векторы смещений на просто векторы (векторные поля, конечно) $a$ и $b$, а $d$ и $\delta$ на ковариантные производные одного вектора по направлению другого. Будет ненамного менее наглядно, а претензий это вызывать уже не будет.

[Nirowulf]

svv в сообщении #1140440 писал(а):

Заменить векторы смещений на просто векторы (векторные поля, конечно) $a$ и $b$, а $d$ и $\delta$ на ковариантные производные одного вектора по направлению другого. Будет ненамного менее наглядно, а претензий это вызывать уже не будет.

Возьмём вектора $\xi^\mu$ и $\chi^\mu.$ Ковариантная производная первого вектора по направлению второго:

$$ D_\chi \xi^\mu=\chi^\nu\partial_\nu \xi^\mu+\Gamma^\mu_{\nu \sigma}\xi^\sigma \chi^\nu. $$

Ковариантная производная второго по направлению первого:

$$ D_\xi \chi^\mu=\xi^\nu \partial_\nu \chi^\mu+\Gamma^\mu_{\nu \sigma} \chi^\sigma \xi^\nu. $$

Вычитая первое из второго, получаем:

$$ D_\xi \chi^\mu - D_\chi \xi^\mu=\xi^\nu \partial_\nu \chi^\mu-\chi^\nu\partial_\nu \xi^\mu+C^\mu_{\nu \sigma}\xi^\nu \chi^\sigma. $$

И что-то я отсюда всё-равно не могу уяснить геометрический смысл=) С тензором Римана мне понятно всё, а тут не очень. Можете разъяснить, пожалуйста!

[anb]

О геометрическом смысле тензора кручения есть у Рашевского. У меня в издании П.К. Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ", Наука, Москва, 1967г. это вторая половина параграфа 92 "Изображение кривой в $L_n$в виде кривой в $A_n$стр. 435-439.

[svv]

Nirowulf
Простите, я поспешил, либо очень плохо выразился. Для произвольных векторных полей в отсутствие кручения
$\nabla_\xi \chi-\nabla_\chi \xi=[\xi,\chi]$
У Вас это и получилось. Этой формуле соответствует наглядная картинка, описанная в книге
Шутц, Геометрические методы математической физики, с.250-251.

[пианист]

Nirowulf в сообщении #1140513 писал(а):

С тензором Римана мне понятно всё

Тензор Римана это ответ на вопрос, можно ли из одного вектора (заданного в одной точке) параллельным переносом сделать векторное поле.
А кручение - можно ли (в малом) менять местами вектор, который переносим, с вектором, по которому переносим.

-- Чт июл 28, 2016 08:42:01 --

У кручения поэтому тот же набор индексов, что и у символа Кристоффеля: один нижний для направления переноса и пара верхний-нижний для отображения при переносе.
А у тензора Римана пара нижних индексов для площадки обхода и пара верхний-нижний для отображения при обходе.

[Nirowulf]

anb
svv
пианист
Спасибо большое! Стало немного понятнее, хотя ещё и не до конца. С тензором кривизны как-то всё понагляднее=)

[svv]

Nirowulf
Позвольте ещё пару слов. В формуле Вы видели коммутатор двух векторных полей, он же производная Ли одного поля по другому. Это может показаться неприятной усложняющей деталью, на самом деле наоборот. Когда я говорю, что при наличии кручения вектор, параллельно переносимый вдоль кривой (скажем, геодезической) вращается вокруг неё, это прекрасный образ, но, чтобы это имело математический смысл, надо иметь, с чем сравнивать. Так вот, имея два векторных поля, Вы можете переносить одно вдоль другого в смысле переноса Ли, и результат переноса Ли есть то единственное в данной ситуации, по отношению к чему можно говорить: да, результат параллельного переноса вращается. Поэтому необходимо понимание, что такое перенос Ли. А вещь эта совсем несложная, по крайней мере на наглядном уровне. Если нужна помощь — я готов помочь.

[epros]

Nirowulf в сообщении #1140650 писал(а):

Стало немного понятнее, хотя ещё и не до конца. С тензором кривизны как-то всё понагляднее=)

Антисимметричная часть связности - это действительно "кручение", именно в смысле наглядности. Будучи добавленной к связности трёхмерного евклидова пространства, она поворачивает переносимый вектор вокруг направления переноса.

[Nirowulf]

svv
Возьмём два вектора $\xi^\mu$ и $\chi^\mu,$ пусть они являются касательными векторами к некоторым геодезическим.

Перенесём первый вектор вдоль геодезической для второго:

$$\tilde{\xi}^\mu=\xi^\mu+\Gamma^\mu_{\nu \sigma}\xi^\sigma \chi^\nu,$$

и второй вдоль геодезической для первого:

$$\tilde{\chi}^\mu=\chi^\mu+\Gamma^\mu_{\nu \sigma} \chi^\sigma \xi^\nu.$$

Вычитая первое из второго, получим:

$$\tilde{\chi^\mu}-\tilde{\xi}^\mu=\chi^\mu-\xi^\mu+C^\mu_{\nu \sigma}\xi^\nu \chi^\sigma.$$

Разность между перенесёнными векторами не будет совпадать с разностью между исходными векторами, то есть параллелограмм, образованный векторами $(\xi, \chi, \tilde{\xi}, \tilde{\chi})$ не будет замкнут, потому что его диагональ разойдётся:

$$\tilde{\chi^\mu}-\tilde{\xi}^\mu \neq \chi^\mu-\xi^\mu.$$

Вот и получается, что при наличии кручения вектор как бы поворачивается при параллельном переносе.

Я правильно понял?

[Munin]

Я вспомнил, где мне встречалось кручение: в группах Ли, например, $SU(2),SO(3).$

Геометрический смысл наиболее просто и наглядно у кручения такой.

Допустим, вы сидите в какой-то начальной точке многообразия $O.$ И допустим, вы запаслись в ней тремя векторами $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0.$ И вы решили совершить замкнутый путь по многообразию.

Вы идёте в направлении вектора $\vec{a},$ на протяжении его длины (допустим, у вас есть натуральное сопоставление длины вектора с длиной на многообразии). И несёте с собой все три вектора, чтобы не заблудиться. Дойдя до точки $A,$ вы идёте в направлении (уже перенесённого с собой) вектора $\vec{b}\,'$ до точки $B.$ Потом вы идёте в направлении вектора $\vec{c}\,'',$ и приходите в точку $C.$

Вы думаете, что пришли обратно в точку $O$? А вот фиг вам! Вы сильно сбились в сторону.

Кажется похожим на кривизну при ненулевом тензоре Римана? Отличия таковы:
- вы сбиваетесь прежде всего не в плоскости исходных векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c},$ а выбиваетесь из этой плоскости, перпендикулярно ей;
- эффект не квадратичен по длинам векторов (линеен по площади заметённого контура), а линеен.

Может быть, я где-то наврал, плохо помню.

[svv]

Nirowulf
Простите, у меня примерно до 15.08 не будет возможности подробно отвечать.
Лежащая в основе идея правильная, но технические претензии есть. Учтите два требования: 1) Любой вектор относится только к одной «своей» точке, он не есть нечто, соединяющее две разные точки; 2) складывать и вычитать можно только векторы, относящиеся к одной точке (о чем говорил и Munin). Но Вы можете опираться на различные законные способы переноса вектора вдоль кривой.

[Munin]

Картинка кручения в Википедии



годится, если понимать её так: прямая - геодезическая, базисы в её отдалённых точках выровнены по пучку соседних геодезических, а изображён результат параллельного переноса некоей касательной площадки (заданной составляющими её касательными векторами) вдоль геодезической.