Определение динамического неравенства

[maxmatem]

Добрый день.

Возникла необходимость в изучении понятия динамическое неравенство.

В связи с этим возникли пару вопросов.


Def: Динамическое неравенство (ДН) на гладком многообразии $M$ задается гладкой функцией $F$ на касательном расслоении этого многообразия. А именно скорость $v\in T_{x}M$ в точке $x \in M$ называется допустимой , если $F(x;v)\leqslant 0$

Здесь в данном определении все ясно и прозрачно, но дальше возникают проблемы.

Например вот здесь, а именно:

Изучаются лишь простейшие динамические неравенства на евклидовой плоскости $Oxy$.

Такое неравенство задаетсягладким векторным полем сноса $v=(a;b)$ и гладкой функцией $f$ характерезующей собственные возможности объекта к движению в точки плоскости.

Точнее, в точке $(x;y)$ скорость движения $(\dot{x};\dot{y})$ допустима если

$$(\dot{x}-a(x;y))^2 +(\dot{y}-b(x;y))^2 \leqslant f(x;y)$$

Собственно самый пожалуй главный вопрос, что такое векторное поле сноса $v=(a;b)$

Я правильно понимаю, что в записи $v=(a;b)$ имеется в виду $v=(a(x;y);b(x;y))$ ?

Если кто то знаком с литературой по ДН, которая была бы доступной для изучения этого объекта, то посоветуйте.

И еще вот что, пытался разобраться с примером ДН.

Потребуется следующее определение
DEF Индикатрисой скоростей в точке -называется множество всех допустимых скоростей в этой точке.

Пример.

Если любое векторное поле на плоскости определяет простое движение со сносом $v$ в случаи когда индикатриса скоростей в точке $x$ есть замкнутый шар с центром в скорости $v(x)$ в касательной плоскости, то движение описывается простейшим ДН

$$|v-v(x)|^2 \leqslant 1$$

Чем отличаются $v$ и $v(x)$ ? И как шар может быть в касательной плоскости?

И что такое простое движение со сносом?

[DeBill]

maxmatem в сообщении #1139663 писал(а):

Такое неравенство задается

Так это , типа, понятно..

(Оффтоп)

Народная примета: если мимо нас пролетела чайка хвостом вперед - то, значит, ветрено...

Если (в точке $(x,y)$) мы можем - по максимуму - развить скорость $\sqrt{f(x,y)}$
(относительно содержащей нас среды), а сама среда движется со скоростью $v=(a,b)$, то относительно неподвижного мира наши допустимые скорости как раз и задаются этим нер-вом....

maxmatem в сообщении #1139663 писал(а):

Я правильно понимаю, что в записи $v=(a;b)$ имеется в виду $v=(a(x;y);b(x;y))$ ?

Да

maxmatem в сообщении #1139663 писал(а):

Чем отличаются $v$ и $v(x)$ ?

Видимо, $v(x)$ - данный нам вектор в точке $x$, $v$ - допустимые скорости в этой точке (но, вапче, нехорошие обознаки)

maxmatem в сообщении #1139663 писал(а):

И как шар может быть в касательной плоскости?

А где ж ему и быть? Просто шар (двумерный ) - это круг...

maxmatem в сообщении #1139663 писал(а):

И что такое простое движение со сносом?

Ну вот это оно и есть. Фишка в том, что индикатриса скоростей может быть и не кругом (в неизотропном пр-ве). Так что - да, простое оно, хотя и со сносом.
И - практически важное, потому как постоянно приходится плавать-летать при наличии течения-ветра...

[maxmatem]

Спасибо за ответы.

Но на счет простого движения со сносом все равно остается чувство непонимания....

Где про него можно почитать, ? и как да же на плоскости можно представить векторное поле которое является этим движением?

[DeBill]

maxmatem
Ну вообще то - такие задачи возникают в теории управления. И ставятся они примерно так: докуда можно долететь за 2 часа из данной точки, если скорость самолета - 300 км в час, а ветер - северный, умеренный (50км в час)? Так что конкретного в. поля и нету, а есть - допустимые (у которых - в каждой точке - вектор принадлежит индикатрисе)...
А почитать - не знаю. Может, кто из спецов по управлению откликнется...