Конструкция в метрическом пространстве

[demolishka]

Пусть $(X,\rho)$ --- компактное метрическое пространство и $U \subset X$ --- открытое подмножество. Рассмотрим функцию $\delta(x):=\operatorname{dist}(x,X \setminus U)$. Утверждается, что $\delta$ --- Липшицева, а именно

$$|\delta(x)-\delta(y)| \leq \rho(x,y).$$

Собственно вопрос в том, как это показать. Интерес представляет случай, когда $x,y \in U$. Из неравенства четырехугольника

$$|\rho(x,z)-\rho(y,u)| \leq \rho(x,y) + \rho(z,u)$$

можно получить только

$$|\delta(x)-\delta(y)| \leq \rho(x,y) + C$$

для некоторого, вообще говоря, положительного $C$. Это возможно наталкивает на мысль, что исходное утверждение ложно, но контрпример мне пока не удалось придумать.

[svv]

Не разбираюсь в этом, но всё-таки рискну.
$\delta(x)=\operatorname{dist}(x,X \setminus U)$ — это инфимум $\rho(x, z)$ по множеству всех $z\in X\setminus U$.

Пусть исходное утверждение ложно, тогда существуют такие $x, y$, что
$\rho(x,y)+\delta(y)<\delta(x)$.
Значит, для некоторого $\varepsilon>0$
$\rho(x,y)+\delta(y)+\varepsilon=\delta(x)$.
Найдётся такая $z\in X\setminus U$, что $\rho(y, z)<\delta(y)+\varepsilon$, в противном случае $\delta(y)$ не инфимум $\rho(y, z)$. Значит,
$\rho(x,y)+\rho(y, z)<\delta(x)$.
Учитывая $\rho(x, z)\leqslant\rho(x,y)+\rho(y, z)$, получим
$\rho(x, z)<\delta(x)$,
что противоречит определению $\delta(x)$.

[demolishka]

svv, спасибо за помощь. Опять я все усложнил . Здесь даже прямое доказательство получается:

$$\delta(x) \leq \rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$$

откуда предельным переходом получаем, что $\delta(x) \leq \rho(x,y)+\delta(y)$.

Аналогично из $\delta(y) \leq \rho(y,z) \leq \rho(x,y) + \rho(x,z)$ получаем, что $\delta(y) \leq \rho(x,y) + \delta(x)$.

[svv]

demolishka в сообщении #1139074 писал(а):

предельным переходом

А скажите, верно ли, что поскольку $X\setminus U$ замкнуто, то существует точка $z\in X\setminus U$, для которой этот инфимум достигается, то есть $\rho(y, z)=\delta(y)$ ? И тогда в моём варианте просто берём её. Но я был не очень уверен и не опирался на это.

[DeBill]

svv в сообщении #1139075 писал(а):

верно ли

Верно: ведь в условии задачи есть компактность (всего пространства, а, значит, и замкнутых подмножеств его).

[svv]

(DeBill)

Я знаю — город будет,
Я знаю — саду цвесть,
Когда такие люди
В стране в советской есть!

[demolishka]

svv в сообщении #1139075 писал(а):

верно ли

В рамках тех предположений, что я делал в первом сообщении ($X$ --- компактно, $U$ --- открыто) это верно. В отсутствие компактности контрпример должен быть похож на контрпример к лемме Рисса о почти перпендикуляре. К слову, в конечномерных векторных пространствах работает принцип выбора Больцано-Вейерштрасса, поэтому для существования проекции (того элемента на котором достигается упомянутый инфинум) достаточно лишь замкнутости множества.

Но мне была важна только Липшицевость функции $\delta(x)$, поэтому ни компактности $X$, ни открытости $U$ в итоге не потребовалось.

[svv]

Спасибо, DeBill и demolishka.

[ewert]

demolishka в сообщении #1139094 писал(а):

В отсутствие компактности контрпример должен быть похож на контрпример к лемме Рисса о почти перпендикуляре.

Компактность (локальная), конечно, нужна для достижения расстояния, но не всего пространства, а лишь множества. Контрпример тривиален: где достигается расстояние от $0$ до $(1;2]$?

Существенно, что для всего пространства компактность несущественна. Например, в любом нормированном пространстве (независимо от его размерности и даже банаховости) достигается наилучшее равномерное приближение любого элемента "обобщёнными многочленами" (т.е. линейными комбинациями фиксированного набора элементов). Факт, который может показаться несколько неожиданным тем, кто раньше о нём не слышал.

[demolishka]

ewert в сообщении #1139141 писал(а):

Контрпример тривиален

Мою фразу "В отсутствие компактности" следует читать как "В отсутствие компактности, но сохранении замкнутости (для множества на которое проектируем)", т.к. изначально svv делал предположение о существовании проекции в рамках одной лишь замкнутости

svv в сообщении #1139075 писал(а):

поскольку $X\setminus U$ замкнуто, то существует точка

Так что Ваш контрпример, не тот контрпример.

Конечномерные (в смысле топологической размерности) метрические пространства худо-бедно вкладываются в конечномерные евклидовы пространства. Поэтому, с учетом замечания про проекцию на замкнутое подмножество конечномерного нормированного пространства, контрпример искать надо в бесконечномерии.

[ewert]

demolishka в сообщении #1139182 писал(а):

"В отсутствие компактности, но сохранении замкнутости (для множества на которое проектируем)"

Пожалуйста: $M=\{f_n(t)=\arctg(nt)\}_{n=1}^{\infty}$ в $C([-1;1])$. Достигается ли расстояние до этого множества от, скажем, тождественного нуля?

demolishka в сообщении #1139182 писал(а):

контрпример искать надо в бесконечномерии.

Не обязательно, между прочим. Вот аналогичный двумерный метрический пример: пространство -- плоскость с выколотым началом координат, множество -- элементов какой-либо последовательности из первого квадранта, сходящая к началу координат и точка -- какая-либо из третьего квадранта.

[demolishka]

ewert в сообщении #1139196 писал(а):

Пожалуйста:

Что-то здесь не так. Расстояние до нуля достигается на элементе $f_{1}$.

ewert в сообщении #1139196 писал(а):

Не обязательно, между прочим.

Ну да, образ $X$ при вложении не обязательно будет замкнутым множеством в $\mathbb{R}^n$, поэтому и множество на которое мы проектируем также не обязательно замкнуто в $\mathbb{R}^n$.

С плоскостью пример хороший, спасибо.

[ewert]

demolishka в сообщении #1139309 писал(а):

Что-то здесь не так. Расстояние до нуля достигается на элементе $f_{1}$.

Ну не так, конечно. Естественно, имелось в виду пи пополам.

Ещё один контрпример на ту же тему: расстояние от нуля до $(\sqrt2;1]$ в $\mathbb Q$.

Во всех этих контрпримерах использовалось отсутствие полноты. Полнота -- требование более слабое, чем локальная компактность. Но и в полном некомпактном случае контрпример напрашивается. Скажем, в гильбертовом пространстве можно взять любую ортогональную последовательность, нормы элементов которой строго монотонно убывают, но не до нуля.