Ровно шесть делителей - II

[Ktina]

(не путать с задачей «Ровно шесть делителей»)

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно шесть натуральных делителей (включая 1 и само число)?

Теоретически их может быть не больше 7 (так как число, кратное 8, либо имеет более 6 делителей, либо равно 32).
Практически - полный дом зуртиканок имеется пример с четырьмя числами: 242, 243, 244, 245.
Что-то далековата теория от практики...

[slavav]

Число с ровно шестью делителями имеет вид $p^5$ или $p_1p_2^2$, где все $p$ простые. Таких чисел кратных шести только два: 12 и 18. Следовательно в последовательности максимум 5 чисел.

[Ktina]

slavav
Спасибо за верное замечание. Как-то ускользьнуло от меня, что больше 5 не может быть. Любопытно, существует ли пример с пятью числами.

[Aritaborian]

Вплоть до $10^8$ пятёрок не нашлось. Возможно, как-то просто доказывается, что их вообще нет?

[iou]

Aritaborian в сообщении #1089514 писал(а):

Вплоть до $10^8$ пятёрок не нашлось. Возможно, как-то просто доказывается, что их вообще нет?

А четвёрки часто встречаются?

[Aritaborian]

iou, где ж вы раньше были-то ;-) Нужно было сначала четвёрки поискать. А их-то тоже нет (до $10^8$), кроме той, что нашла Ktina.

[ИСН]

Неплохо. Четвёрок-то -----
Господа, я тут подумал, что лучше дам эту задачу кое-кому кое-где, поэтому пока уберу результат и вас всех попрошу молчать.

[Ktina]

ИСН
Спасибо!

[Aritaborian]

Ого. Вот уж не ожидал.

[ИСН]

Ну-с, я эту штуку использовал, теперь можно и всем рассказать. Четвёрок полно; следующая начинается с $17\,042\,641\,441$, следующая за ней - с $180\,383\,003\,522$, и т.д. Пятёрок тоже полно, но они ещё толще: A141621.

[Ktina]

ИСН
И снова спасибо!

[VAL]

Задачка про последовательные числа, имеющие по 6 делителей была в Математическом марафоне. См. ММ77.

В приложении есть таблица, в которой указаны числа, открывающие максимально длинные цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих ровно $k$ делителей, для всех четных $k$, для которых такие цепочки известны.

А вот здесь и здесь есть наиболее длинные из известных на сегодняшний (или уже на вчерашний?) день цепочки последовательных чисел, имеющих поровну делителей.

[Ktina]

VAL
И Вам спасибо!