Ровно шесть делителей

[Ktina]

Может ли число, записываемое несколькими единицами, иметь ровно 6 различных делителей?

[Aritaborian]

A070529. По всей видимости, не может.

[angor6]

Если речь идёт только о простых натуральных делителях, то может. Например,

$R_{15}=111111111111111=3 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 271 \cdot 2906161.$

Если речь идёт о всех натуральных делителях, включая само число и единицу, то, по-видимому, нужно воспользоваться теоремами о количестве и сумме делителей.

[worm2]

Вопрос сводится к решению уравнения $10^n-1=9p^2q$ в простых $n$, $p$, $q$ (ну хорошо, $n$, наверное, может быть степенью простого). 6 делителей ещё может быть у пятой степени простого числа, но этот вариант легко опровергается по какому-нибудь модулю.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #1050108 писал(а):

но этот вариант легко опровергается по какому-нибудь модулю.

Как раз наоборот: по любому фиксированному модулю $m$ сравнение $10^n-1 \equiv 9p^5 \pmod{m}$ имеет бесконечно много решений $(n,p)$.

[Sender]

nnosipov в сообщении #1050115 писал(а):

Как раз наоборот: по любому фиксированному модулю $m$ сравнение $10^n-1 \equiv 9p^5 \pmod{m}$ имеет бесконечно много решений $(n,p)$.

Минуточку, разве пятая степень может оканчиваться, к примеру, на $11$?

[nnosipov]

Да, действительно, по модулю $m=100$ противоречие.

Вообще, это какое-то везение. Будь там не пятая, а третья степень (например) --- и всё, фокус не проходит.