Неравенство а ля Бернулли

[Cash]

TR63 в сообщении #1138421 писал(а):

Теперь требуется доказать неравенство при $(n+1)$ слагаемом.
$[a_{n+1}+(a_1+a_2+...+a_{i-1}+a_{i+1}+...+a_n)]+a_i\ge(n+1)\sqrt[n+1]{[a_{n+1}(a_1...a_{i-1}a_{i+1}...a_n)]a_i}$

$(b'+a_i)\ge(n+1)\sqrt[n+1]{(c')^na_i}$
$a_i=\min(a_j)$,
$\max(a_j)= c'$(3)
Учитывая, что

$$\frac{b'+c'}{c'}\ge(n+1)$$

$$(4)$$

...

TR63, извините, но это не доказательство.
Что здесь у вас за $b'$ ?

[TR63]

b'-это выражение, стоящее в левой части неравенства в квадратных скобках, т.е.:
$b'=[a_{n+1}+(a_1+a_2+...a_{i-1}+a_{i+1}+...+a_n)]$
Cash, теперь посчитайте, сколько в квадратных скобках слагаемых. Верно, их ровно (n). По индукции обычной для любых (n) слагаемых верно АМ-ГМ. Т.е. неравенство (4) верно (это эквивалентная формулировка АМ-ГМ в переобозначениях для произвольного набора из (n) слагаемых). Вот, этот факт и надо учитывать далее.

-- 17.07.2016, 20:59 --

Моему преподавателю было достаточно краткого идейного изложения доказательства. Поэтому я сделала краткое изложение доказательства. Если кому что-то непонятно, просьба задавать вопросы в вежливой форме.

[Cash]

Вот эту строчку поясните, пожалуйста.

TR63 в сообщении #1138421 писал(а):

$\max(a_j)= c'$(3)

[TR63]

Cash, (c')-это максимальное из чисел в квадратных скобках правой части неравенства (там стоит произведение (n) чисел). Т.е. далее мы записываем усиленное неравенство. Достаточно доказать его для доказательства исходного неравенства. $a_i$-минимальное из чисел в наборе из $(n+1)$ чисел. (Согласна, что эти записи требовали уточнения.) Потом ещё одно усиление с учётом неравенства (4). Остальное-арифметика. Тогда, если более не будет ошибок, видно, что АМ-ГМ является чисто техническим неравенством на обычный метод матиндукции.

[Cash]

Хорошо. Теперь, когда разобрались с определениями, позвольте заметить, что в неравенстве (4) знак надо развернуть в другую сторону: сумма $n$ чисел, отнесенная к их максимуму, будет точно не больше $n$.

Upd. Доказательство проходит, если определить $c'=\sqrt[n]{a_{n+1}(a_1...a_{i-1}a_{i+1}...a_n)}$.
Все остальные шаги изменения не потребуют. Будем считать это опиской, на которую я сгоряча среагировал и замнем этот инцидент.

[TR63]

Cash, с Вашими замечаниями согласна. Спасибо.