Построить две точки

[GDTD]

Здравствуйте. Недавно столкнулся с рядом задач по планиметрии, при решении которых возникли затруднения. Вот одна и них: на прямой $a$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$. К этой прямой в точках $N$ и $K$ восстановлены перпендикуляры $b$ и $c$ соответственно. Отметить такие точки $P\in b$ и $Q\in c$, что $MP=PQ=QK$.

У меня есть одно решение (в принципе несложное), но алгоритм просто повторяет нудные вычисления. А именно: строится угол $MPN$, зная угол $\alpha$, $\tg\alpha=\frac{MN^2}{NK^2-MN^2}$. У меня получилось, что $\cos\angle MPN=\sqrt{\left(\tg\alpha+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}-\tg\alpha$. Придумать какое-то наглядное решение, которое не использует никаких вычислений, не получается. Буду рад идеям.

[ewert]

Лучше в декартовых координатах. Примем точку $N$ за начало координат, иксовую координату точки $K$ за единицу (чтоб не плодить лишних букв); параметром задачи будет иксовая координата $a$ (или, что эквивалентно, $(-a)$) точки $M$. В качестве искомого возьмём игрековую координату $t$ точки $P$; длина отрезков -- это координата $y$ точки $Q$.

После недолгой медитации над внутренней полосой получим $y=\frac12(t+\frac1t)$. Приравниваем к длине отрезка $MP$ -- и получаем биквадратное уравнение: $\frac12(t+\frac1t)=\sqrt{t^2+a^2}$. Ответ:

$$t^2=\frac{1-2a^2+2\sqrt{a^4-a^2+1}}3.$$

Ответ, во всяком случае, правдоподобен -- он чётен и по $t$, и по $a$, и даёт верные результаты для трёх очевидных частных случаев:
$a=0\ \leftrightarrow\ t=1$,
$a=1\ \leftrightarrow\ t=\frac1{\sqrt3}$,
$a=\infty\ \leftrightarrow\ t=0$.

[GDTD]

ewert
Ваше решение тоже основано на вычислениях. Мне хотелось бы найти решение, которое не использует никаких вычислений.

Собственно, откуда возникла задача и почему хочется обойтись без вычислений. У Ткачука в разделе "Задачи на засыпку" есть похожая задача под номером 10. В ней вычислениями можно прийти к искомому построению, но в ответе приведено очень наглядное и простое решение.

Изначально задача имела несколько другое условие. Там из вершины $O$ выходят четыре луча $a$, $b$, $c$ и $d$. На $a$ и $d$ отмечены такие точки $A$ и $D$, что $AO=OD$. Построить $B\in b$ и $C\in c$, такие что $AB=BC=CD$. Решить ее не получилось, поэтому я изменил условие (мне показалось, что решения этих задач должны быть похожи).