Автоморфизм

[function]

Не могу понять, почему отображение $\varphi(h)=ghg^{-1}$ ($g$ и $h $-- элементы одной группы $G$) является автоморфизмом. Для этого нужно доказать, что $\varphi(h_1h_2)=\varphi(h_1)\varphi(h_2)$ --- это очевидно; а также инъективность и сюрьективность.

Что-то не так с инъективностью. Пусть $h_1\neq h_2$, тогда для этого достаточно доказать, что $ \varphi(h_1)\neq\varphi(h_2)$. Положим противное, тогда $\varphi(h_1)=\varphi(h_2)$, т. е. $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$, или $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$. Но из последнего не следует то, что $h_1=h_2$, поэтому противоречия получить не удаётся.

[kp9r4d]

А как вы из $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$ получили $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ и почему этот же метод не годится для получения из $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ равенства $h_1=h_2$?

[function]

kp9r4d в сообщении #1138272 писал(а):

А как вы из $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$ получили $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$

Умножением слева на $g^{-1}$.

kp9r4d в сообщении #1138272 писал(а):

почему этот же метод не годится для получения из $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ равенства $h_1=h_2$

Поскольку для этого нужно умножать уже справа. Ну а группа не обязана быть коммутативной.

[ewert]

function в сообщении #1138274 писал(а):

Ну а группа не обязана быть коммутативной.

А что такое обратный элемент -- пусть даже и в некоммутативной группе?

[function]

ewert в сообщении #1138275 писал(а):

А что такое обратный элемент -- пусть даже и в некоммутативной группе?

Это элемент $g^{-1}$ такой, что $g^{-1}g=e$. Кроме того, в любой группе $gg^{-1}=g^{-1}g$. Это всё понятно. Но почему мы имеем право умножить справа равенство на $g_1$?

[ewert]

function в сообщении #1138284 писал(а):

Но почему мы имеем право умножить справа равенство на $g_1$?

А почему мы вообще имеем право умножать?

[function]

ewert в сообщении #1138285 писал(а):

А почему мы вообще имеем право умножать?

Неизвестно.

Обозначим $\xi=h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$, тогда $g=g \Leftrightarrow \xi g=\xi g\Leftrightarrow h_1g^{-1}g=h_2g^{-1}g\Leftrightarrow h_1=h_2$. Теперь на душе полегчало.

[Sonic86]

function в сообщении #1138289 писал(а):

ewert в сообщении #1138285 писал(а):

А почему мы вообще имеем право умножать?

Неизвестно.

Аксиомы равенства погуглите.

function в сообщении #1138289 писал(а):

Обозначим $\xi=h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$, тогда $g=g \Leftrightarrow \xi g=\xi g\Leftrightarrow h_1g^{-1}g=h_2g^{-1}g\Leftrightarrow h_1=h_2$. Теперь на душе полегчало.

Подстановка усложняет суть: просто умножить равенство на $g$ справа.

[ewert]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1138302 писал(а):

Аксиомы равенства погуглите.

он явно так шутит