2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 18:17 


11/11/12
172
Не могу понять, почему отображение $\varphi(h)=ghg^{-1}$ ($g$ и $h $-- элементы одной группы $G$) является автоморфизмом. Для этого нужно доказать, что $\varphi(h_1h_2)=\varphi(h_1)\varphi(h_2)$ --- это очевидно; а также инъективность и сюрьективность.

Что-то не так с инъективностью. Пусть $h_1\neq h_2$, тогда для этого достаточно доказать, что $ \varphi(h_1)\neq\varphi(h_2)$. Положим противное, тогда $\varphi(h_1)=\varphi(h_2)$, т. е. $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$, или $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$. Но из последнего не следует то, что $h_1=h_2$, поэтому противоречия получить не удаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А как вы из $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$ получили $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ и почему этот же метод не годится для получения из $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ равенства $h_1=h_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 18:38 


11/11/12
172
kp9r4d в сообщении #1138272 писал(а):
А как вы из $gh_1g^{-1}=gh_2g^{-1}$ получили $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$

Умножением слева на $g^{-1}$.
kp9r4d в сообщении #1138272 писал(а):
почему этот же метод не годится для получения из $h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$ равенства $h_1=h_2$

Поскольку для этого нужно умножать уже справа. Ну а группа не обязана быть коммутативной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 18:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
function в сообщении #1138274 писал(а):
Ну а группа не обязана быть коммутативной.

А что такое обратный элемент -- пусть даже и в некоммутативной группе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 19:10 


11/11/12
172
ewert в сообщении #1138275 писал(а):
А что такое обратный элемент -- пусть даже и в некоммутативной группе?

Это элемент $g^{-1}$ такой, что $g^{-1}g=e$. Кроме того, в любой группе $gg^{-1}=g^{-1}g$. Это всё понятно. Но почему мы имеем право умножить справа равенство на $g_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 19:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
function в сообщении #1138284 писал(а):
Но почему мы имеем право умножить справа равенство на $g_1$?

А почему мы вообще имеем право умножать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 19:34 


11/11/12
172
ewert в сообщении #1138285 писал(а):
А почему мы вообще имеем право умножать?

Неизвестно.

Обозначим $\xi=h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$, тогда $g=g \Leftrightarrow \xi g=\xi g\Leftrightarrow h_1g^{-1}g=h_2g^{-1}g\Leftrightarrow h_1=h_2$. Теперь на душе полегчало. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 21:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
function в сообщении #1138289 писал(а):
ewert в сообщении #1138285 писал(а):
А почему мы вообще имеем право умножать?

Неизвестно.
Аксиомы равенства погуглите.

function в сообщении #1138289 писал(а):
Обозначим $\xi=h_1g^{-1}=h_2g^{-1}$, тогда $g=g \Leftrightarrow \xi g=\xi g\Leftrightarrow h_1g^{-1}g=h_2g^{-1}g\Leftrightarrow h_1=h_2$. Теперь на душе полегчало. :D
Подстановка усложняет суть: просто умножить равенство на $g$ справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм
Сообщение16.07.2016, 21:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1138302 писал(а):
Аксиомы равенства погуглите.

он явно так шутит

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild, vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group