Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[whitefox]

ArshakA в сообщении #1137876 писал(а):

А истинностное значение набора буковок "высказывание записанное на данной карточке" и требуется определить (это вопрос задачи)

Вообще-то, на карточке написано: "высказывание записанное на данной карточке ложно", поэтому вопрос остаётся:

whitefox в сообщении #1137872 писал(а):

И чему равно истинностное значение набора буковок: "высказывание записанное на данной карточке"?

[ArshakA]

Anton_Peplov в сообщении #1137877 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

Есть один вопрос: могу ли я задавать возникающие вовремя чтения книг вопросы на этом форуме? Вопросы могут быть не только насчёт понимания каких-то аспектов мат.логики, но и в духе:"Почему математики договорились сделать так, а не иначе? Нельзя ли сделать по другому (вот так-то) и если нет то почему?" При условии, конечно, что я уже буду владеть базой для понимания ваших ответов.

Разумеется, можете. Для этого предназначен раздел "Помогите решить/разобраться".
Главное - не путать вопросы с утверждениями. А то модераторы обидятся, они чувствительные.

Хорошо, спасибо

-- 14.07.2016, 22:11 --

А

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

(Полного прочтения "Математической логики" Клини хватит?)

для того, что бы не задавать глупых вопросов?

[Anton_Peplov]

ArshakA в сообщении #1137879 писал(а):

А

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

(Полного прочтения "Математической логики" Клини хватит?)

для того, что бы не задавать глупых вопросов?

Скорее всего. Если вдруг нет, тогда и подумаем, что делать.

[ArshakA]

whitefox в сообщении #1137878 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137876 писал(а):

А истинностное значение набора буковок "высказывание записанное на данной карточке" и требуется определить (это вопрос задачи)

Вообще-то, на карточке написано: "высказывание записанное на данной карточке ложно", поэтому вопрос остаётся:

whitefox в сообщении #1137872 писал(а):

И чему равно истинностное значение набора буковок: "высказывание записанное на данной карточке"?

Я очень хочу ответить, но боюсь, что не понимаю вашего вопроса . Истинность "Высказывание записанное на данной карточек" (-высказывание1), совпадает с истинностью "Высказывание записанное на данной карточке ложно" (-высказывание2)(по условию задачи - т.к. именно это(высказывание2) и написано на карточке). Кроме того истинность "Высказывание записанное на данной карточек" совпадает с истинностью части высказывания2, о которой утверждается, что она ложна.

-- 14.07.2016, 22:21 --

Anton_Peplov в сообщении #1137880 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137879 писал(а):

А

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

(Полного прочтения "Математической логики" Клини хватит?)

для того, что бы не задавать глупых вопросов?

Скорее всего. Если вдруг нет, тогда и подумаем, что делать.

Хорошо. Большое Вам спасибо.

[whitefox]

ArshakA в сообщении #1137881 писал(а):

Истинность "Высказывание записанное на данной карточек" (-высказывание1), совпадает с истинностью "Высказывание записанное на данной карточке ложно"

Поэтому я задал свой вопрос. Предположим, что высказывание1 и высказывание2 действительно высказывания и, что процитированное утверждение истинно. Тогда, чтобы ответить на вопрос задачи об истинности высказывания2, Вам нужно найти истинностное значение высказывания1. Так чему оно равно? И, вообще, может ли набор буковок "высказывание записанное на данной карточке" иметь хоть какое-то истинностное значение?

[epros]

(Про буковки)

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

До сих пор не могу понять разницу между равенством и эквиваленцией в исчислении высказываний

Дополню несомненно правильный ответ kp9r4d. Также правильно было замечено, что автор имеет право самостоятельно определить значение символов. Однако к нестандартным определениям лучше не прибегать, ибо тут вступает в силу обязанность обеспечить однозначность и понятность своих определений.

Если же говорить о более или менее стандартном использовании символов, то в языке логики первого порядка $=$ - это бинарный предикатный символ, который определяется аксиомами равенства. Некоторые не относят равенство (символ и аксиомы) к логике, а считают, что его должна определять прикладная теория. Но в любом случае как бинарный предикатный символ он применяется к двум термам. Термами, в частности, являются переменные и константы. Например, вот синтаксически правильная формула:
$x=1$

Эквивалентность (я предпочитаю для неё использовать значок $\leftrightarrow$) - это логическая связка, имеющая смысл "двойной импликации". Т.е. $A \leftrightarrow B$ - это то же самое, что $(A \to B) \wedge (B \to A)$, где $\to$ - символ импликации (тоже логическая связка). Иногда употребляют $\Rightarrow$, но под ним также могут понимать выводимость, коя, строго говоря, не то же самое, что импликация. А поэтому для выводимости во избежание неоднозначности понимания я предпочитаю применять символ $\vdash$. Так что правило вывода modus ponens я бы записал так:
$A,\, A \to B \vdash B$

Логические связки $\leftrightarrow$ и $\to$, разумеется, ставятся не между термами, а между формулами.

[buddy]

Anton_Peplov в сообщении #1137880 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

(Полного прочтения "Математической логики" Клини хватит?) для того, что бы не задавать глупых вопросов?

Скорее всего. Если вдруг нет, тогда и подумаем, что делать.

За кучей формализма и деталей трудно новичкам лес увидеть. Желательно кратко неформально и информативно основную идею рассказать. Тогда и книгу легче будет осваивать и интереснее, наверное.

Примерно такое объяснение

Anton_Peplov в сообщении #1137630 писал(а):

dorveed в сообщении #1137586 писал(а):

что такое истинность? раскройте смысл этого понятия

Для математической логики это просто одно из двух значений, которые могут принимать функции. $1$ или $0$, "истина" или "ложь", "сено" или "солома". Это просто названия, важно то, что в области значений ровно два различных элемента.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137881 писал(а):

Истинность "Высказывание записанное на данной карточек" (-высказывание1), совпадает с истинностью "Высказывание записанное на данной карточке ложно" (-высказывание2)(по условию задачи - т.к. именно это(высказывание2) и написано на карточке).

Правильное понимание синтаксической структуры высказывания критически важно. В данном случае Вы явно не понимаете, чем является то, что Вы назвали "высказывание1". Далеко не всякая последовательность буковок, являющаяся частью высказывания, сама будет высказыванием.

[buddy]

Здесь довольно просто и неплохо изложено.
Аксиоматические построения и логические рассуждения. текст

Цитата:

Напомним, что под высказыванием понимается языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Высказываниями, например, являются...

Алгебра высказываний и операции над высказываниями. текст
Понятие высказывания.

Цитата:

Приведем примеры высказываний, которые будут использованы в дальнейшем:...

[whitefox]

Someone в сообщении #1137890 писал(а):

Правильное понимание синтаксической структуры высказывания критически важно.

ArshakA
Раз Вы изучаете Клини, приведу цитату из "Математическая логика" Глава II § 16:

Клини писал(а):

Возьмём высказывание (выражаемое предложением): "Сократ есть человек". Часть этого высказывания (выражаемая конструкцией "___ есть человек" или "$x$ есть человек") — это то, что называется предикатом, или сказуемым; "Сократ" же — это субъект (подлежащее).

В нашем примере в высказывании "Высказывание, записанное на данной карточке, является ложным" субъектом является "Высказывание, записанное на данной карточке" (ровно то, что Вы обозначили символом $a$), а предикатом — "___ является ложным".

Обозначим этот предикат буквой $P$ ($P:=$ "___ является ложным"). Тогда Ваша "формула" может быть записана как:

$$a=P(a)$$

Здесь слева стоит терм, а справа атомарная формула. Но что означает знак $=$ ?

Это не может быть знак равенства, так как правый аргумент не терм. Но это не может быть и знаком эквиваленции, так как левый аргумент не формула. Так что это?

[Xey]

buddy в сообщении #1137940 писал(а):

Здесь довольно просто и неплохо изложено.
Аксиоматические построения и логические рассуждения. текст

Тут есть и о соотношении теории , реальности и практики.

Цитата:

Здесь может возникнуть вопрос, почему приписывание истинности или ложности высказыванию осуществляется именно на основании приведенной таблицы. Конечно, можно ответить, что об определениях не спорят. Но ведь мы желаем построить математическую теорию (алгебру высказываний), которая в какой-то мере отражала бы реально существующий в природе человеческого мышления процесс построения составных высказываний из элементарных и имела бы реальный смысл. Затем мы должны будем развить нашу математическую теорию, а полученные выводы применить в практике мышления и при этом не войти в противоречие с общеизвестными законами мышления. Определение отрицания с помощью приведенной таблицы (как, впрочем, и других логических связок с помощью соответствующих таблиц, о чем речь пойдет далее) появилось как результат длительного опыта, и оно полностью оправдало себя на практике.

[epros]

Xey в сообщении #1138007 писал(а):

Тут есть и о соотношении теории , реальности и практики.

Надо заметить, что приведённый кусок является, пожалуй, самой слабой частью этой безусловно хорошей книжки. Не потому что он неправильный, а потому что все эти рассуждения про практику не очень уместны в математической книжке. Как обоснование того, почему логика именно такая, а не иная, рассуждения про "длительный опыт" и "оправдало себя на практике"смотрятся очень бледно.

[Mikhail_K]

ArshakA в сообщении #1137817 писал(а):

Оно существует. Как существует любое высказывание. Как существует любое уравнение. Но не любое уравнение имеет решение. И не для любого высказывания можно определить его истинность.

Ну, в классической логике высказывание - это по определению то, истинность чего можно определить. Зачем же нам иметь не-истинные-не-ложные высказывания, какая польза от них? Лучше их просто не называть высказываниями.
Наивная логика, в которой есть парадокс лжеца, состоит в том, что высказыванием там объявляется любое утвердительное предложение, которое, на первый взгляд, имеет смысл. (Ну, логика на то и наивная, что никаких чётких определений там нет.) И поэтому когда выясняется, что отрицающее себя утверждение там не может быть ни истинным, ни ложным, то это означает крах наивной логики.

На самом деле, мне гораздо более интересен парадокс Рассела, чем парадокс лжеца. Точно так же, как в логике высказывание есть то, что может быть или истинно, или ложно - точно так же в теории множеств (и наивной, и аксиоматической) множество есть то, чему любой элемент может либо уж принадлежать, либо уж не принадлежать, и ничего третьего. Если Вам хочется ввести множества, которым какой-то элемент может одновременно принадлежать и не принадлежать, или множества, которым какой-то элемент может ни принадлежать, ни не-принадлежать - то Вам нужно посмотреть, как используется теория множеств в остальной математике. Ведь не стоит думать, что теория множеств - это какая-то отдельная дисциплина, где можно наворотить правил или аксиом какие хочется. Теория множеств используется во всей остальной математике: какой бы раздел математики мы ни взяли, найдём там множества. Какое бы доказательство теоремы мы ни взяли, неявно там обязательно будет использоваться, что элемент может либо уж принадлежать множеству, либо уж не принадлежать ему, и ничего третьего. Равно как и тот факт, что любое утверждение либо истинно, либо ложно, и ничего третьего. Сразу на ум приходят доказательства от противного, которые теряют смысл без всего этого.

ArshakA в сообщении #1137817 писал(а):

Из аксиом классической логики вывести ложные (противоречивые) утверждения невозможно. Но их можно составить. Их всегда легко можно составить. Только это не значит, что теория противоречива. Потому что множество утверждений, которые можно составить, всегда больше множества утверждений, которые можно доказать. Иначе все утверждения были бы истинными.

Не надо путать ложные утверждения с такими, которые мы видим в парадоксах. Конечно же, ложные утверждения можно составить. Например, утверждение $5=6$ или $0=1$. Но отрицающее себя утверждение не такое: оно является не-истинным-не-ложным, и вот здесь-то кроется парадокс: ибо в любой логике любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Можно сказать, что это аксиома.

Вот пример: в геометрии есть аксиома, что через любые две точки на плоскости можно провести прямую. Но если я отыщу такие две точки, через которые невозможно провести прямую, и предъявлю эти две точки, и обосную, почему невозможно - то это будет противоречие, это будет парадокс. Точно так же (грубо говоря), в логике есть аксиома, что любое высказывание либо истинно, либо ложно. Если я привожу высказывание, которое не является ни истинным, ни ложным, то это парадокс.

ArshakA в сообщении #1137817 писал(а):

Здесь есть очень щекотливый момент. Мы сначала полагаем возможность существования такого $s$, а потом уже находим его. Мы предполагаем, что формулировка "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" описывает некое действительное (а не теоретический описуемое) высказывание. ( То же самое с уравнениями (предполагаем наличие корня, а его нет), то же самое с распространенной формулировкой парадокса лжеца, где мы сначала предполагаем существование человека утверждающего "Я лжец", а потом приходим к выводу, что его быть не может). Может не очень корректно, но по существу верно будет сказать, что формулировка "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" не имеет решений. Ведь когда мы описываем объект через самого себя, нельзя считать что он представлен нам в явной форме. Типа "Ну вот же он перед нами". Например следующее описание: "число, которое на 1 больше чем оно уже удвоенное" - определяет число через самого себя и это число действительно существует (а не только описывается): $x=2x+1 \Longleftrightarrow x=-1$. А описание: "число, которое больше себя на 1" - только описание для числа, но в действительности числа, удовлетворяющего такому описанию, нет $x=x+1 \Longleftrightarrow 0=1$. (по крайней мере удовлетворяющего аксиомам классической арифметики, а так конечно - $\infty$ )

Здесь Вам стоит увидеть принципиальную разницу между определением $s=$"Это высказывание ложно" и "$x$ есть число, большее себя на единицу". Второе не является определением, это именно описание, из которого ещё неясно, существует такое $x$ или нет. Согласитесь, что если бы я написал $x=123$, или $x=58943$, или $x=123766789845$ - то это были бы не описания типа предыдущего, а представления в явной форме. Если я поставлю после $x=$ любую конечную последовательность цифр, то тем самым я задам такое $x$ в явной форме, и мне не нужно будет дополнительно выяснять, существует такое $x$ или не существует.

Если я напишу что-то вроде "$s$ - это отрицающее себя утверждение", то это будет, как Вы правильно заметили, просто описание: не факт, что такое $s$ вообще найдётся. Но если я пишу $s=$"Это высказывание ложно", то я привёл $s$ в явном виде, я могу назвать каждую букву в этом высказывании: Э-т-о-в-ы-с-к-а-з-ы-в-а-н-и-е-л-о-ж-н-о. Разница между последними двумя примерами такая же, как между описанием "x есть число, большее себя на единицу" и определением $x=123$. В первом случае $s$ или $x$ не обязано существовать, во втором оно приведено в явном виде.

Должно быть понятно, как разрешать эти парадоксы. Надо понять, что просто нельзя как угодно сформулированное утверждение считать высказыванием. Аналогично, нельзя всё, что взбрело на ум, называть множеством. Надо точно определить, что мы считаем высказыванием, а что не считаем; что мы считаем множеством, а что нет. Для этого и нужны математическая логика и аксиоматическая теория множеств вместо наивных теорий.

----------

Кстати, Ваша аналогия между парадоксами и уравнениями, не имеющими решения, всё-таки в чём-то верна. В одной из упомянутых в этой теме книг (Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств) приводится такое разрешение парадокса Рассела. $P$ - расселовское множество всех множеств, которые не включают самих себя в качестве элемента. Предположим, что такое множество $P$ существует. Тогда $P$, с одной стороны, включает себя как элемент, с другой стороны, не включает. Мы получили противоречие. Значит, неверна была наша исходная посылка - что такое множество $P$ существует. Значит, такое множество $P$ просто не существует, и нет никакого парадокса. Более того, такие рассуждения даже вполне возможны в аксиоматической системе NBG, когда нужно определить, яваляется ли тот или иной класс множеством или не является.

Но! Такое разрешение парадокса уже невозможно в рамках наивной теории множеств. Потому что наивная теория множеств разрешает нам конструировать любые множества, в том числе $P$, и утверждает, что любые сконструированные нами множества будут существовать. Так что от наивной теории всё равно придётся отказываться. А чтобы не пришлось каждый раз думать-гадать, можно или нельзя сконструировать множество таким-то способом, и нужны аксиомы, разрешающие некоторые способы построения множеств.

(Аналогичное разрешение парадокса лжеца: предположим, что высказывание $s=$"Это высказывание ложно" cуществует. Тогда оно не может быть ни истинным, ни ложным - противоречие. Значит, такое $s$ просто не существует. Вполне нормальное разрешение. Но если мы поняли, что некоторые предложения не могут быть высказываниями, то нам нужно как-то договориться, какие предложения мы всё-таки можем считать высказываниями. И для этого придётся от наивной логики перейти к логике математической.)

----------

Цитата:

Ведь когда мы описываем объект через самого себя, нельзя считать что он представлен нам в явной форме.

Разумеется, эта мысль лежит на поверхности и не могла не прийти математикам в голову) Если Вы будете читать книжки, которые Вам посоветовали в этой теме, то рано или поздно услышите фразу "Непредикативные определения". Существовала идея запрета таких определений, которые (очень грубо говоря) так или иначе ссылаются на самих себя. Не совсем так, но это несколько похоже на Ваше направление мысли. И логику реформировать математики тоже пытались, как и Вы: самый удачный эксперимент здесь - т.н. интуиционистская / конструктивная логика (там убирают закон исключённого третьего - что любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным). Разница с Вашими построениями здесь в том, что эти математики не просто сказали: а давайте изменим логику и теорию множеств вот так вот и вот так вот, и не станет никаких парадоксов - но и провели большую работу по согласованию своих построений со всей остальной математикой. (И всё равно, большинству математиков и мне в том числе больше по вкусу классическая логика, чем интуиционистская.) Так что, присоединюсь к другим отвечающим в Вашей теме: читайте книжки, и увидите, что ничего нетривиального Вы не изобрели, а крупица осмысленного в Ваших словах лежит на поверхности, и математики не могли её не заметить ранее.

[whitefox]

Mikhail_K в сообщении #1138167 писал(а):

Ну, в классической логике высказывание - это по определению то, истинность чего можно определить.

Аристотель подтверждает:

Аристотель в "Об истолковании" Глава четвёртая писал(а):

Но не всякая речь есть высказывающая речь, а лишь та, в которой содержится истинность или ложность чего-либо; мольба, например, есть речь, но она не истинна и не ложна.

(утверждение)

Mikhail_K в сообщении #1138167 писал(а):

Надо понять, что просто нельзя как угодно сформулированное утверждение считать высказыванием.

Видимо, под словом утверждение Вы понимаете предложение (речь в терминологии Аристотеля). Имхо, утверждение — синоним высказывания. Но если строго следовать Аристотелю, то утверждение это разновидность высказывания:

Аристотель в "Об истолковании" Глава пятая писал(а):

Первая единая высказывающая речь — это утверждение, затем — отрицание.

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1138167 писал(а):

Ну, в классической логике высказывание - это по определению то, истинность чего можно определить.

Нет, высказывания определяются чисто синтаксически. Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации.

В естественном языке это всё перепутано, поэтому и появляются парадоксы. В математической логике в первую очередь определяются алфавит и синтаксис, когда нет ещё никакой интерпретации, и исключена возможность формулировать высказывания о высказываниях.