Задача на теорему Гаусса

[LORDIF]

Задача: В безграничном плоском слое толщиной $2d$ объёмная плотность заряда ρ изменяется по закону $\rho = \rho_0\dfrac{x}{d}, (-d \le x \le d)$, где $x$ — ось, перпендикулярная плоскости слоя, а начало координат на этой оси находится посередине слоя. $\rho = 0$ при $|x|>d$. Найти зависимость напряженности проекции электрического поля $E(x)$на ось $x$от координаты $x$.

Мое решение:


Теорема Гаусса:
$\int_S E ds = 4\pi \int_0^x \rho(u)Sdu$.
$ES=4\pi \rho_0S \dfrac{1}{d}\int_0^x u du = \dfrac{2\pi S \rho_0}{d}x^2$.
Следователно при $|x|\le d$ получается ответ $E(x)=\dfrac{2\pi\rho_0}{d}x^2$.

При $|x| > d$ получается, что $E(x)=\dfrac{2\pi\rho_0}{d}d^2 = 2\pi\rho_0d$.

Можете подсказать в чём моя ошибка.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- решение задачи также нужно набрать в виде текста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[svv]

Рассмотрим интеграл по поверхности, стоящий в теореме Гаусса:
$\oint\limits_S \mathbf E\cdot d\mathbf S=\oint\limits_S \mathbf E\cdot \mathbf n\;dS$
Здесь $\mathbf n$ — вектор внешней единичной нормали к замкнутой поверхности. Как обычно, векторные величины обозначаем полужирным, а их компоненты курсивом. В задаче поле имеет только одну ненулевую компоненту $E_x$. Поэтому $\mathbf E\cdot \mathbf n=E_x\;n_x$.

Наша поверхность — поверхность параллелепипеда, который изображён у Вас на картинке. У него шесть граней. На четырёх из них (боковых) $\mathbf E\perp\mathbf n$, поэтому $\mathbf E\cdot \mathbf n=0$. Остаются две горизонтальных — верхняя ($x=\operatorname{const}>0$) и нижняя ($x=0$); понятно, эти названия условны. При этом на верхней $n_x=1$, а на нижней $n_x=-1$. Понятно, что пропущено?

[LORDIF]

На сколько я понимаю поток через поверхность примет вид:
$\int_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{ds}$ = E(x) S - E(0) S, однако я не понимаю откуда взять $E(0)$, если проделать симметричную процедуру с другой стороны, то равенства сократятся.

[svv]

Да. Интеграл по верхней грани равен $E(x)S$ (подразумеваем компоненту поля, поэтому уже не жирным). Интеграл по нижней грани равен $-E(0)S$.

Воспользуйтесь тем, что $E(d)$ и $E(-d)$ известны. (Чему они равны и почему?)
Это наводит на мысль, что нижнюю грань лучше было бы разместить в плоскости $x=-d$.

[LORDIF]

А интеграл по нижней грани разве равен $-E(0)S$, ведь напряженность направлена от плюса к минусу, поэтому должно быть $+E(0)S$.
Не могу понять откуда $E(\pm d)$ известно.

Нет, там $-E(0)S$, все верно было.

[svv]

Распространённая ошибка: кажется, что значение $-E(0)S$ всегда отрицательно.
На самом деле знак минус говорит только о том, что это слагаемое имеет знак, противоположный знаку $E(0)S$. Площадь $S$ положительна, а знак $E(0)$ в принципе может быть любым (в нашем случае $E(0)<0$, по причине, которую Вы назвали).

LORDIF в сообщении #1137577 писал(а):

Не могу понять откуда $E(\pm d)$ известно.

Учтите, что полный заряд слоя равен нулю. Ввиду бесконечности слоя говорить о его полном заряде не очень корректно, но заряд, заключённый внутри прямоугольного параллелепипеда с верхней и нижней гранями в плоскостях $x=d$ и $x=-d$ уже «без всяких» нулевой.

Для однозначного определения $E(d)$ и $E(-d)$ понадобится ещё некий принцип, но о нём позже. Пока попробуйте выжать всё, что можно, из того соображения, что я привёл.

[Munin]

Ещё можно сказать "$E(0)=0$ в силу симметрии задачи". Не всегда работает.

[svv]

Да, здесь как раз такой случай, когда не работает. У нас $E$ при $x=0$ не то что не равно нулю, оно там максимально.

В нашем случае поле на границах слоя (а также на бесконечности, поскольку за границами нет зарядов) равно нулю. Но как прийти к этому? Проблема в том, что из самих уравнений это не следует. Понятно, что поле может быть равным нулю вне слоя (нулевой суммарный поток это допускает). Но мы также можем добавить к полю $E(x)$ константу $E_0$, и сумма тоже будет допустимым решением. Физически добавленное постоянное поле или какую-то его часть (какую — в этом и вопрос) можно интерпретировать как внешнее; нас же интересует «чисто» поле слоя. Так как сами уравнения не в состоянии отделить поле слоя от внешнего поля, им надо помочь, введя следующий принцип (применимый к подобным «одномерным» задачам): собственно поле, созданное системой, создаёт на обеих границах (верхней и нижней, например) равный поток на единицу поверхности $\mathbf E\cdot \mathbf n$. Это даёт $E(-d)=-E(d)$. Если учесть ещё, что полный поток в силу общей нейтральности слоя нулевой, т.е. $E(d)-E(-d)=0$, то...

[LORDIF]

Большое спасибо, разобрался, но можете посмотреть на логику.

Размещаем нижнюю грань "гауссовой" области в плоскости $x=-d$.
Рассмотрим сперва "гауссову" область, покрывающую по высоте весь плоский слой.

В таком случае интегральный закон Гаусса запишется в виде:
$\left. \oint_S (\mathbf{E}, \mathbf{n}) ds = 4\pi \int_{-d}^d S\rho_0\dfrac{x}{d}dx = \dfrac{4\pi S\rho_0}{d}x^2\right\vert_{-d}^d=0$.

Поверхностный интеграл в свою очередь раскрывается следующим образом:
$\oint_S (\mathbf{E}, \mathbf{n}) ds = \int_{S_{u}}$(\mathbf{E}(d), \mathbf{n}_{u})ds + \int_{S_{l}}$(\mathbf{E}(-d),\mathbf{n}_{l})ds = E(d)S - E(-d)S.

Следовательно, в конечном итоге получаем выражение: $E(d)S - E(-d)S = 0 \Leftrightarrow E(d)=E(-d)=E_0.$
Так как внутри "гауссовой" области нулевой заряд, то $E_0$ является внешним полем. Однако в задаче внешнее поле не указано, следовательно $E_0=0 \Rightarrow E(x)=0, |x| \ge d$.

Аналогично рассмотрим область $|x|<d$.
$\left. \oint_S (\mathbf{E}, \mathbf{n}) ds = 4\pi \int_{-d}^x S\rho_0\dfrac{x}{d}dx = \dfrac{4\pi S\rho_0}{d}x^2\right\vert_{-d}^x=\dfrac{4\pi S\rho_0}{d}(x^2-d^2)$.

Таким образом конечный ответ для случая $|x|<d$ выглядит следующим образом:
$E(x)-E(-d) = E(x) = \dfrac{4\pi \rho_0}{d}(x^2-d^2)$.

[svv]

Хорошо. Но на всякий случай проверим выполнение уравнения $\operatorname{div}\mathbf E=4\pi\rho$ (теорема Гаусса в дифференциальной форме).
$\operatorname{div}\mathbf E=\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left(\frac{4\pi \rho_0}{d}(x^2-d^2)\right)=4\pi\rho_0\frac{2x}{d}$

Тогда $\rho=\frac 1{4\pi}\operatorname{div}\mathbf E=\rho_0\frac{2x}{d}$. Лишняя двойка. Где же ошибка? Она здесь:

LORDIF в сообщении #1137688 писал(а):

$\left.\oint_S (\mathbf{E}, \mathbf{n}) ds = 4\pi \int_{-d}^x S\rho_0\dfrac{x}{d}dx{\color{magenta}{\stackrel{?}{=}}} \dfrac{4\pi S\rho_0}{d}x^2\right\vert_{-d}^x=\dfrac{4\pi S\rho_0}{d}(x^2-d^2)$

Ведь $\int \limits_a^b x\;dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_a^b$. Вообще, $\int\limits_a^b x^n\;dx=\left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_a^b$.

[LORDIF]

Всё верно, опечатался. Там в числителе $2\pi$. Прошу прощения.

[svv]

Тогда всё в порядке.

[Munin]

svv в сообщении #1137599 писал(а):

Да, здесь как раз такой случай, когда не работает. У нас $E$ при $x=0$ не то что не равно нулю, оно там максимально.

А, да, пардон.