Две задачи с олимпиады им. Покрышкиной-Ксюшкиной

[Ktina]

1) При каких натуральных $n$ можно разбить числа от 1 до $n$ на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре содержала в десятичной записи только нули и четвёрки?

2) (по мотивам задачи И. Ф. Акулича)
Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой, никакие 4 точки не лежали на одной окружности и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

[ProPupil]

Во второй задачи под фигурой имеется ввиду то, что точки соединяются прямой?

[svv]

Нет, просто фигура как набор $n$ точек. Набор точек тоже может иметь или не иметь ось симметрии. Кстати, никто не запрещал и «вертикальные» оси симметрии (перпендикулярные нашей плоскости с точками).

[levtsn]

Первые 2 точки располагаются произвольно.
Точка 3 может образовать с ними равнобедренный или равносторонний треугольник.
Если треугольник равнобедренный то точка должна быть на оси его симметрии, и также 5, они будут лежать на одной прямой, что не удовлетворяет условиям.
Если треугольник равносторонний, то мы можем поставить точки 4, 5, 6 на его трех осях симметрии. А вот дальше двигаться некуда.

[NSKuber]

levtsn в сообщении #1137448 писал(а):

Если треугольник равнобедренный то точка должна быть на оси его симметрии, и также 5, они будут лежать на одной прямой, что не удовлетворяет условиям.

Почему? Ось симметрии следующей фигуры не обязана совпадать с какой-либо осью симметрии предыдущей. Например, если получился равнобедренный (при этом не равносторонний) треугольник, можно провести прямую через середину боковой стороны, перпендикулярную этой стороне и отразить противоположную вершину треугольника относительно этой прямой.

[levtsn]

Да, так можно, но тогда точка 5 попадает на новую ось симметрии а там уже 2 точки есть.

[NSKuber]

levtsn в сообщении #1137699 писал(а):

Да, так можно, но тогда точка 5 попадает на новую ось симметрии

Почему? Вы доказывать это умеете?

levtsn в сообщении #1137699 писал(а):

а там уже 2 точки есть.

После выставления четвёртой точки предложенным мной способом ось симметрии полученной фигуры вообще точек не содержит, и на эту ось можно без проблем поставить пятую и шестую точки, если хочется.

----------------------------------------------------------
А, на самом деле, так нельзя, я себя и вас обманул. Ведь 4 точки, имеющие ось симметрии, ни через одну из точек не проходящую, образуют равнобедренную трапецию, около которой можно описать окружность. Отсюда и решение всей задачи извлекается.
Больше пяти точек поставить нельзя, потому что при шести точках либо как минимум три лежат на оси симметрии, либо как минимум четыре не лежат на ней и образуют равнобедренную трапецию.
Ой, да и пять нельзя, потому что две точки на оси симметрии и три вне быть не может из соображений чётности точек вне оси. Четыре - максимум.

[levtsn]

6 точек ставлю. Два равностороних треугольника.

[Aritaborian]

levtsn, нарисуйте. Что-то я не соображу, как они могут быть расположены при соблюдении всех заданных условий.

[levtsn]

   4
   2
  3 1
 5    6

[NSKuber]

levtsn
Я уже доказал несколькими постами выше, что больше четырёх нельзя. В вашем примере при постановке пятой точки точки $2,3,4,5$ лежат на одной окружности.

[levtsn]

А если 4 5 6 повернуть на 60°?

[NSKuber]

levtsn
В зависимости от того, по часовой стрелке или против вы повернёте, при постановке пятой точки точки $4,1,2,5$ или $4,3,1,5$ будут лежать на одной окружности. Ktina, напишите уже, пожалуйста, ваше любимое "спасибо" за вторую задачу, а то тут какие-то гадания продолжаются при имеющемся доказательстве.

[Ktina]

NSKuber в сообщении #1138989 писал(а):

Ktina, напишите уже, пожалуйста, ваше любимое "спасибо" за вторую задачу, а то тут какие-то гадания продолжаются при имеющемся доказательстве.

Спасибо!

[svv]

Дык... за «спасибо» спасибо, но его в карман не положишь. Подтвердите, пожалуйста, результат правильный?