Площадь в аффинной геометрии

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136977 писал(а):

1) Математика изучает множества.

С этим многие не согласятся.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136977 писал(а):

8) Косое произведение, которое Вы изобразили не сохраняется при аффинных преобразованиях. Кроме того, данное определение относится к двумерному случаю, и не переносится в буквальном виде на многомерный случай.

Видно же, что это координата $\vec a\wedge\vec b$ а базисе $\vec e_1\wedge\vec e_2$, и она изменяется при линейном преобразовании $A$ этих $\vec a,\vec b$ вполне ясным образом — умножаясь на $\det A$.

Можно считать, что определение в такой формулировке как раз переносится на многомерный случай, хотя зависимость от базиса не радует.

[svv]

function в сообщении #1136946 писал(а):

А где про это определение площади можно почитать?

Ефимов, Розендорн. Линейная алгебра и многомерная геометрия. Глава VI, параграф 5 «Ориентированный объём параллелепипеда...». Достаточно прочитать пункты 6 и 7.

Предварительно нужно знать, что упорядоченный набор из $n$ линейно независимых векторов в $n$-мерном векторном пространстве может иметь одну из двух ориентаций (и понимать, что это значит).

Вкратце: ориентированный объём $n$-мерного параллелепипеда вводится как вещественнозначная функция $V(x_1,\ldots,x_n)$ от $n$ векторов (на которых параллелепипед построен), удовлетворяющая некоторому набору естественных требований (линейность по каждому аргументу, кососимметричность и др.). Чтобы обеспечить единственность, нужно ещё выбрать некоторый конкретный набор линейно независимых векторов $(e_1,\ldots,e_n)$ и потребовать, чтобы для него эта функция была равна единице.

Свойства косого произведения двух векторов, определяемого при $n=2$, весьма аналогичны требованиям, которые накладываются на функцию $V$. Поэтому неудивительно, что ориентированный объем (при $n=2$ ориентированная площадь) параллелограмма, построенного на двух векторах, выражается их косым произведением. При $n>2$ то же, только вместо косого произведения двух векторов используется его $n$-векторный аналог.

[Ruslan_Sharipov]

function в сообщении #1136985 писал(а):

Не секрет: мехмат МГУ.

Ну, если Вы уже поступили на мехмат МГУ, то зачем Вам читать книги для школьников популяризаторского толка? Переключайтесь на серьёзные книги.

Кстати, любопытно узнать, какой раздел математики Вам нравится больше и почему?

[Otta]

(Оффтоп)

Ruslan_Sharipov в сообщении #1137079 писал(а):

Ну, если Вы уже поступили на мехмат МГУ,

Вроде ж человек ответил

function в сообщении #1136968 писал(а):

Абитуриент

-- 11.07.2016, 01:49 --

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136977 писал(а):

4) Аффинное пространство - это множество, наделённое структурой аффинного пространства.

Убойная, честно говоря, фраза. Универсальное определение.

[function]

svv, спасибо!

Ruslan_Sharipov в сообщении #1137079 писал(а):

книги для школьников популяризаторского толка

Ну, в самой книге написано, что она адресована студентам математических факультетов вузов.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1137079 писал(а):

Переключайтесь на серьёзные книги.

Это, вообще говоря, опасно, поскольку на лекциях будет тошнить, или можно на первых порах расслабиться и не учиться. Похожие ощущения я испытывал, когда был в лагере МФТИ ЦРИТО.