Площадь в аффинной геометрии

[function]

Здравствуйте! Читаю книгу Я. П. Понарина <<Аффинная и проективная геометрия>>. Не могу сам ответить на следующие возникшие вопросы:
1. Пусть $P$ и $Q$ --- точки на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Необходимо доказать, что $\frac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\frac{PQ}{BC}$. Как это сделать без метрики? Что такое <<отношение площадей>> в аффинном понимании?
2. Когда автор приводит решения задач, использующие косое произведение, он использует, например, в д-ве теоремы Гаусса следующее обозначение: $\overline{M}\circ \overline{N}$, хотя привычнее этот символ встречать с двумя отрезками, а не с точками! Сам автор ничего не обосновывает.

[alcoholist]

function в сообщении #1136584 писал(а):

Что такое <<отношение площадей>> в аффинном понимании?

1. При аффинном преобразовании отношение площадей, как и отношение длин, сохраняется. Имеется ввиду "какая бы евклидова метрика ни была..."
2. обозначение для чего?

[function]

alcoholist в сообщении #1136614 писал(а):

При аффинном преобразовании отношение площадей, как и отношение длин, сохраняется

Это понятно. Я имею в виду немного другое. Допустим, я живу в мире аффинной геометрии. Как вывести это утверждение (без использования метрики)?

alcoholist в сообщении #1136614 писал(а):

обозначение для чего?

Для косого произведения.

[alcoholist]

function в сообщении #1136624 писал(а):

Как вывести это утверждение (без использования метрики)?

никак)) Без метрики нет ни длины, ни площади. Но! Имеет смысл понятие "отношение". Его так и определяют: введем метрику, вычислим отношение, покажем, что отношение от метрики не зависит. Таким образом, отношение - аффинное понятие.

-- Пт июл 08, 2016 22:41:06 --

function в сообщении #1136624 писал(а):

Для косого произведения.

может быть $M$ и $N$ -- это точки на координатной плоскости и под $\overline{M}$ понимается вектор $OM$?

[function]

alcoholist в сообщении #1136636 писал(а):

может быть $M$ и $N$ -- это точки на координатной плоскости и под $\overline{M}$ понимается вектор $OM$?

Да, скорее всего.

alcoholist в сообщении #1136636 писал(а):

никак)) Без метрики нет ни длины, ни площади.

Очень странно, ведь идеология этой книжки как раз такова:

Цитата:

Книга содержит элементарное систематическое изложение двух классических геометрий [аффинной и проективной] как самостоятельных геометрических дисциплин без использования метрических понятий...

Равенство отрезков автор вводит так:

Цитата:

отрезки $AB$ и $CD$ параллельных прямых называются равными, если $AC||BD$. Отрезки одной прямой $\ell$ называются равными, если существует третий отрезок $MN$, лежащий на прямой, параллельной $\ell$, и равный каждому из отрезков $AB$ и $CD$.

И далее:

Цитата:

В аффинной геометрии два неколлинеарных отрезка не могут быть сравнимы: для них не определяются понятия <<равно>>, <<меньше>>, <<больше>>.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1136636 писал(а):

никак)) Без метрики нет ни длины, ни площади.

В принципе, можно ввести площадь без метрики, но это редко полезно.

[alcoholist]

function в сообщении #1136697 писал(а):

трезки $AB$ и $CD$ параллельных прямых называются равными, если $AC||BD$

вероятно, $AC=BD$

[Ruslan_Sharipov]

function в сообщении #1136584 писал(а):

Читаю книгу Я. П. Понарина <<Аффинная и проективная геометрия>>.

Интересно, как сей автор определяет само аффинное пространство. Наиболее просто его определить как множество $\cal A$, на котором транзитивно и свободно действует аддитивная группа векторов, составляющих некоторое линейное векторное пространство $V$ над полем $\mathbb K$. Тогда каждый вектор $v\in V$ можно изображать парами точек из $\cal A$, а равенство

$$k=\frac{PQ}{BC}$$

можно понимать как $\overrightarrow{PQ}=k\cdot\overrightarrow{BC}$. Площадь тоже можно определить. Только это будет тензорная величина или внешняя $(n-2)$-форма, где $n=\dim V$. Тензорные площади можно сравнивать (делить друг на друга), если соответствующие фигуры лежат в одной двумерной плоскости или в параллельных плоскостях.

[alcoholist]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136721 писал(а):

можно понимать как $\overrightarrow{PQ}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

отношение имеет смысл не только для параллельных отрезков

[svv]

alcoholist в сообщении #1136716 писал(а):

function в сообщении #1136697 писал(а):

Отрезки $AB$ и $CD$ параллельных прямых называются равными, если $AC||BD$

вероятно, $AC=BD$

Нет, автор действительно хотел сказать именно это: если параллельны не только прямые $AB$ и $CD$, но и прямые $AC$ и $BD$. А равенство отрезков различных параллельных прямых мы только собираемся определять.

[function]

Munin в сообщении #1136708 писал(а):

alcoholist в сообщении #1136636 писал(а):

никак)) Без метрики нет ни длины, ни площади.

В принципе, можно ввести площадь без метрики, но это редко полезно.

На мой взгляд, не существует чего-то бесполезного в математике. Всё может пригодиться!

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136721 писал(а):

Площадь тоже можно определить. Только это будет тензорная величина или внешняя $(n-2)$-форма, где $n=\dim V$. Тензорные площади можно сравнивать (делить друг на друга), если соответствующие фигуры лежат в одной двумерной плоскости или в параллельных плоскостях.

Ну вот, надо знать тензоры А где про это определение площади можно почитать? И можно всё-таки без тензоров?

В общем, площадь автор вообще не определяет, даже в главе про аксиомы аффинной геометрии, и предлагает сразу доказать утверждение в задаче. С помощью него вводится геометрический смысл косого псевдоскалярного произведения. Какой хитрый, самое сложное выбросил!

[Ruslan_Sharipov]

function в сообщении #1136946 писал(а):

С помощью него вводится геометрический смысл косого псевдоскалярного произведения. Какой хитрый, самое сложное выбросил!

А определение этого самого косого псевдоскалярного произведения он даёт? Если да, воспроизведите нам его здесь.

Уважаемый function! Скажите пожалуйста, Вы кто - школьник, студент, или старше? С какой целью Вы изучаете именно эту книгу? Возможно есть источники, в которых предмет изложен по-другому, и путём сопоставления Вы найдёте наилучшее понимание. Куда Вы собираетесь применить полученные знания, то есть каковы Ваши окончательные намерения?

[function]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136959 писал(а):

А определение этого самого косого псевдоскалярного произведения он даёт? Если да, воспроизведите нам его здесь.

Он сначала фиксирует аффинный репер, после чего называет косым произведением векторов $\overrightarrow{a}=(a_1,\,a_2)$ и $\overrightarrow{b}=(b_1,\,b_2)$ число $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1&b_2 \end{vmatrix}$.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136959 писал(а):

Вы кто - школьник, студент, или старше?

Абитуриент

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136959 писал(а):

С какой целью Вы изучаете именно эту книгу?

Был в МЦНМО, полистал, решил взять. Мне показалось, что в этой книжке достаточно подробно и интересно всё изложено -- увы! До этого я имел некоторые представления об аффинных и проективных преобразованиях из книг Прасолова (<<Планиметрия>>) и Заславского (про кривые второго порядка). Хотелось бы узнать побольше.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136959 писал(а):

Куда Вы собираетесь применить полученные знания, то есть каковы Ваши окончательные намерения?

Удовлетворение интереса.

[Ruslan_Sharipov]

function в сообщении #1136968 писал(а):

Он сначала фиксирует аффинный репер, после чего называет косым произведением векторов $\overrightarrow{a}=(a_1,\,a_2)$ и $\overrightarrow{b}=(b_1,\,b_2)$ число $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1&b_2 \end{vmatrix}$.

1) Математика изучает множества.
2) Специальные разделы математики изучают множества, наделённые специальными структурами.
3) Геометрия изучает множества, наделённые геометрическими структурами.
4) Аффинное пространство - это множество, наделённое структурой аффинного пространства.
5) Взаимно-однозначные отображения множества на себя, сохраняющие его специальную структуру, называются его морфизмами.
6) Морфизмами аффинного пространства являются аффинные преобразования - это сдвиги, повороты и растяжения вдоль какого-то направления с фиксированной точкой (в том числе и с отрицательным коэффициентом растяжения), а также всевозможные композиции этих видов преобразований.
7) Ценными (полезными) в множествах со специальной структурой считаются те числовые характеристики, которые сохраняются либо достаточно хорошим предсказуемым образом изменяются под действием морфизмов.
8) Косое произведение, которое Вы изобразили не сохраняется при аффинных преобразованиях. Кроме того, данное определение относится к двумерному случаю, и не переносится в буквальном виде на многомерный случай.

В свете сказанного Вы можете продолжать чтение книги и самостоятельно оценивать те или иные моменты в изложении автора.

function в сообщении #1136968 писал(а):

Абитуриент

Поступаете или уже поступили? Куда, если не секрет?

[function]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136977 писал(а):

В свете сказанного Вы можете продолжать чтение книги и самостоятельно оценивать те или иные моменты в изложении автора

Спасибо!

Ruslan_Sharipov в сообщении #1136977 писал(а):

Поступаете или уже поступили? Куда, если не секрет?

(Оффтоп)

Не секрет: мехмат МГУ.