2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пинг-понг
Сообщение06.01.2016, 13:37 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
По гладкой горизонтальной плоскости по направлению к вертикальной жёсткой стенке скользит массивный брусок.
Передняя грань бруска остаётся постоянно параллельной стенке. Поначалу между бруском и стенкой лежит очень лёгкий шарик, с которым брусок сталкивается.
После столкновения шарик начинает летать между бруском и стенкой; все его соударения абсолютно упругие.
Минимальное расстояние между передней гранью бруска и стенкой оказалось в $k$ раз меньше начального расстояния между шариком и стенкой, $k\gg 1$.
Требуется найти отношение масс бруска и шарика.
С некоторыми усложнениями задача обобщается на случай наличия потенциальной энергии бруска $U(l)$, где $l$ - расстояние между гранью бруска и стенкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пинг-понг
Сообщение22.02.2016, 21:52 


21/02/15
27
Москва
Пусть $u_n$,$v_n$ - скорости после $n$-го удара шарика и бруска соответственно, $l_n$ - расстояние от места $n$-го удара до стены. Нетрудно показать, что величина $I_n = l_n (u_n - v_n)$ является инвариантом системы относительно $n$. Из начальных условий $I_1 = l_1(2v_1 - v_1) = l_1v_1$, в момент остановки бруска $I_N = l_N(v_1 \sqrt{M/m} - 0)$. Тогда $l_1/l_N =\sqrt{M/m}$ \Leftrightarrow M/m = k^2

Как обобщить решение для произвольной $U(l)$ я пока не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пинг-понг
Сообщение29.06.2016, 21:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно найти точное число соударений, после которого достигается минимальное расстояние до стенки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пинг-понг
Сообщение30.06.2016, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Похожая задачка использовалась для сегрегации потенциальных аспирантов (сосчитать надо было полное число соударений), и ни кто, насколько помниться, не мог ее решить, пока в условие не добавили подсказку: "... объясните, откуда в ответе взялось число $\pi$", после чего число решивших сразу перевалило за 50%.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пинг-понг
Сообщение07.07.2016, 20:46 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
amon в сообщении #1134909 писал(а):
откуда в ответе взялось число $\pi$


Действительно, число $\pi $ имеет привычку появляться в самых неожиданных местах. Для числа соударений у меня получилось:$$N=1+\left \lfloor \frac {\pi }{2\arcsin \left (\dfrac {2\sqrt {\gamma }}{1+\gamma }\right )}\right \rfloor $$

-- Чт июл 07, 2016 22:12:49 --

mihiv в сообщении #1136398 писал(а):
amon в сообщении #1134909 писал(а):
откуда в ответе взялось число $\pi$


Действительно, число $\pi $ имеет привычку появляться в самых неожиданных местах. Для числа соударений у меня получилось$(\gamma =\dfrac mM)$:$$N=1+\left \lfloor \frac {\pi }{2\arcsin \left (\dfrac {2\sqrt {\gamma }}{1+\gamma }\right )}\right \rfloor $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group