Пинг-понг

[dovlato]

По гладкой горизонтальной плоскости по направлению к вертикальной жёсткой стенке скользит массивный брусок.
Передняя грань бруска остаётся постоянно параллельной стенке. Поначалу между бруском и стенкой лежит очень лёгкий шарик, с которым брусок сталкивается.
После столкновения шарик начинает летать между бруском и стенкой; все его соударения абсолютно упругие.
Минимальное расстояние между передней гранью бруска и стенкой оказалось в $k$ раз меньше начального расстояния между шариком и стенкой, $k\gg 1$.
Требуется найти отношение масс бруска и шарика.
С некоторыми усложнениями задача обобщается на случай наличия потенциальной энергии бруска $U(l)$, где $l$ - расстояние между гранью бруска и стенкой.

[e.mazhnik]

Пусть $u_n$,$v_n$ - скорости после $n$-го удара шарика и бруска соответственно, $l_n$ - расстояние от места $n$-го удара до стены. Нетрудно показать, что величина $I_n = l_n (u_n - v_n)$ является инвариантом системы относительно $n$. Из начальных условий $I_1 = l_1(2v_1 - v_1) = l_1v_1$, в момент остановки бруска $I_N = l_N(v_1 \sqrt{M/m} - 0)$. Тогда $l_1/l_N =\sqrt{M/m}$ \Leftrightarrow M/m = k^2

Как обобщить решение для произвольной $U(l)$ я пока не придумал.

[mihiv]

Можно найти точное число соударений, после которого достигается минимальное расстояние до стенки.

[amon]

Похожая задачка использовалась для сегрегации потенциальных аспирантов (сосчитать надо было полное число соударений), и ни кто, насколько помниться, не мог ее решить, пока в условие не добавили подсказку: "... объясните, откуда в ответе взялось число $\pi$", после чего число решивших сразу перевалило за 50%.

[mihiv]

amon в сообщении #1134909 писал(а):

откуда в ответе взялось число $\pi$

Действительно, число $\pi $ имеет привычку появляться в самых неожиданных местах. Для числа соударений у меня получилось:

$$N=1+\left \lfloor \frac {\pi }{2\arcsin \left (\dfrac {2\sqrt {\gamma }}{1+\gamma }\right )}\right \rfloor $$

-- Чт июл 07, 2016 22:12:49 --

mihiv в сообщении #1136398 писал(а):

amon в сообщении #1134909 писал(а):

откуда в ответе взялось число $\pi$

Действительно, число $\pi $ имеет привычку появляться в самых неожиданных местах. Для числа соударений у меня получилось$(\gamma =\dfrac mM)$:

$$N=1+\left \lfloor \frac {\pi }{2\arcsin \left (\dfrac {2\sqrt {\gamma }}{1+\gamma }\right )}\right \rfloor $$