Разложение в ряд Фурье разрывной функции

[Borisko]

Здравствуйте. Решаю краевую задачу методом разделения переменных
$u_t=a^2u_{xx}\\ u(x,0)=u_0(x)\\ u(0,t)=u_1(t), u_x(l,t)=0$
Собственные функции $\sin\lambda_k x$. Подскажите пожалуйста как разложить $u_0(x)$, если это разрывная функция? То есть $u_0(x)=u_1(0)$ при $x=0$ и $0$ при $0<y\leqslant l$

[Brukvalub]

Borisko в сообщении #1136288 писал(а):

Подскажите пожалуйста как разложить $u_0(x)$, если это разрывная функция? То есть $u_0(x)=u_1(0)$ при $x=0$ и $0$ при $0<y\leqslant l$

1. Странно, что функция зависит от $x$, а условие $0<y\leqslant l$ наложено на $y$ .
2. В точках разрыва первого рода кусочно-гладкой функции ее ряд Фурье сходится к полусумме левого и правого пределов, так что "поймать" рядом Фурье указанный разрыв не удастся.

[Borisko]

Brukvalub в сообщении #1136293 писал(а):

Borisko в сообщении #1136288 писал(а):

Подскажите пожалуйста как разложить $u_0(x)$, если это разрывная функция? То есть $u_0(x)=u_1(0)$ при $x=0$ и $0$ при $0<y\leqslant l$

1. Странно, что функция зависит от $x$, а условие $0<y\leqslant l$ наложено на $y$ .
2. В точках разрыва первого рода кусочно-гладкой функции ее ряд Фурье сходится к полусумме левого и правого пределов, так что "поймать" рядом Фурье указанный разрыв не удастся.

С y это опечатка конечно. Подскажите а правильно я понимаю что $u_0(x)$ может быть только константа? В сижу условие согласования..

[Red_Herring]

Нарушение условия согласования $u_1(0)=u_0(0)$ не имеет никаких особых последствий кроме отсутствия непрерывности решения в $(0,0)$ (есть и условия согласования высших порядков, нужных для непрерывности первых и т.д. производных, в т. числе и в $(l,0)$

Заметим, что $\bar{u}=u_1(t)$ удовлетворяет обоим граничным условиям. Поэтому мы ищем решение в виде $u(x,t)=u_1(t)+v(x,t)$, где $v(x,t)$ решает задачу с правой частью $f(x,t)$ и начальной функцией $g(x)$ (посчитайте их), и нулевыми граничными условиями. Решение $v(x,t)$ мы ищем в виде соответствующего ряда Фурье.