Оценить снизу минимальное решение уравнения Пелля

[qx87]

Все уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$, где параметр $D = 4k^3$, а $k \in [47, 10.000]$ и, само собой, не является квадратом, не имеют решений для $|y| < 1.000.000$.

Этот факт проверен на компьютере (программа работала примерно 10 часов). Задача состоит в том, чтобы это доказать.

Я умею находить минимальное решение уравнения Пелля (МРУП) только через разложение корня параметра в цепную дробь. Теория цепных дробей сообщает нам, что разложение $\sqrt{D} = [a_0, (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, 2a_0)]$ не имеет предпериода и последним элементом имеет удвоенную целую часть числа. А для оценки МРУП снизу мне нужно знать длину периода $n$, ну или хотя бы её чётность.

Судя по проверке на компьютере первой сотни решений, $n$ везде чётное и не менее 4. Однако математически доказать мне удалось только то, что $n > 1$. Да даже если и получится доказать, что $n \geqslant 4$, всё равно не удаётся вывести, что $y_{min} > 1.000.000$, не зная элементов цепной дроби. И самое обидное, что проверка на компьютере показывает, что МРУП даже для небольших $k$ содержит очень большое число цифр (как $x$, так и $y$).

Может, есть ещё какие-то способы найти ограничение снизу для МРУП?