Все уравнения Пелля

, где параметр

, а
![$k \in [47, 10.000]$ $k \in [47, 10.000]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/9/2193b34be733c8e07ca6aece7119290882.png)
и, само собой, не является квадратом, не имеют решений для

.
Этот факт проверен на компьютере (программа работала примерно 10 часов). Задача состоит в том, чтобы это доказать.
Я умею находить минимальное решение уравнения Пелля (МРУП) только через разложение корня параметра в цепную дробь. Теория цепных дробей сообщает нам, что разложение
![$\sqrt{D} = [a_0, (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, 2a_0)]$ $\sqrt{D} = [a_0, (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, 2a_0)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/b/54b9f952caa52d9694325033ed262bcd82.png)
не имеет предпериода и последним элементом имеет удвоенную целую часть числа. А для оценки МРУП снизу мне нужно знать длину периода

, ну или хотя бы её чётность.
Судя по проверке на компьютере первой сотни решений,

везде чётное и не менее 4. Однако математически доказать мне удалось только то, что

. Да даже если и получится доказать, что

, всё равно не удаётся вывести, что

, не зная элементов цепной дроби. И самое обидное, что проверка на компьютере показывает, что МРУП даже для небольших

содержит очень большое число цифр (как

, так и

).
Может, есть ещё какие-то способы найти ограничение снизу для МРУП?