2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценить снизу минимальное решение уравнения Пелля
Сообщение07.07.2016, 12:07 
Аватара пользователя


05/11/11
91
Все уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$, где параметр $D = 4k^3$, а $k \in [47, 10.000]$ и, само собой, не является квадратом, не имеют решений для $|y| < 1.000.000$.

Этот факт проверен на компьютере (программа работала примерно 10 часов). Задача состоит в том, чтобы это доказать.

Я умею находить минимальное решение уравнения Пелля (МРУП) только через разложение корня параметра в цепную дробь. Теория цепных дробей сообщает нам, что разложение $\sqrt{D} = [a_0, (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, 2a_0)]$ не имеет предпериода и последним элементом имеет удвоенную целую часть числа. А для оценки МРУП снизу мне нужно знать длину периода $n$, ну или хотя бы её чётность.

Судя по проверке на компьютере первой сотни решений, $n$ везде чётное и не менее 4. Однако математически доказать мне удалось только то, что $n > 1$. Да даже если и получится доказать, что $n \geqslant 4$, всё равно не удаётся вывести, что $y_{min} > 1.000.000$, не зная элементов цепной дроби. И самое обидное, что проверка на компьютере показывает, что МРУП даже для небольших $k$ содержит очень большое число цифр (как $x$, так и $y$).

Может, есть ещё какие-то способы найти ограничение снизу для МРУП?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild, vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group