2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Делимость на квадрат разности кубов
Сообщение16.04.2008, 03:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Докажите, что для каждого натурального $n$ число
$$(3n + 2)^{3n + 2} - (-1)^n (3n + 1)^{3n + 1}$$
делится на число
$$3 ((n + 1)^3 - n^3)^2.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2008, 08:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть
$$P(n,k)=(3n+2)^{3k+2}-(-1)^k(3n+1)^{3k+1},Q(n)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1.$$
Тогда $P(n,k+1)=(3n+2)^3P(n,k)+(-1)^k(3n+1)^{3k+1}9Q(2n+1).$
Учитывая, что $P(n,0)=(3n+2)^2-3n-1=3Q(n)$, получаем, что $3Q|P(n,n)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2008, 08:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Руст писал(а):
получаем, что $3Q|P(n,n)$.

А нужно доказать, что $3Q(n)^2|P(n,n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на квадрат разности кубов
Сообщение16.04.2008, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
maxal писал(а):
Докажите, что для каждого натурального $n$ число
$$(3n + 2)^{3n + 2} - (-1)^n (3n + 1)^{3n + 1}$$
делится на число
$$3 ((n + 1)^3 - n^3)^2.$$

Что на 3 делится, очевидно.
Обозначим $$X^2=((n + 1)^3 - n^3)^2 = (3n^2+3n+1)^2$$ и с точностью до $$X$$:
$$(3n + 2)^{3n + 2}=(9n^2+12n+4)(27n^3+54n^2+36n+8)^n=$$
$$=(3X+3n+1)(9(n+1)X-1)^n=(-1)^n(3X+3n+1)(1-9n(n+1)X)$$
Аналогично со вторым слагаемым и увидим, что делится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group