Делимость на квадрат разности кубов

[maxal]

Докажите, что для каждого натурального $n$ число

$$(3n + 2)^{3n + 2} - (-1)^n (3n + 1)^{3n + 1}$$

делится на число

$$3 ((n + 1)^3 - n^3)^2.$$

[Руст]

Пусть

$$P(n,k)=(3n+2)^{3k+2}-(-1)^k(3n+1)^{3k+1},Q(n)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1.$$

Тогда $P(n,k+1)=(3n+2)^3P(n,k)+(-1)^k(3n+1)^{3k+1}9Q(2n+1).$
Учитывая, что $P(n,0)=(3n+2)^2-3n-1=3Q(n)$, получаем, что $3Q|P(n,n)$.

[maxal]

Руст писал(а):

получаем, что $3Q|P(n,n)$.

А нужно доказать, что $3Q(n)^2|P(n,n)$.

[TOTAL]

maxal писал(а):

Докажите, что для каждого натурального $n$ число

$$(3n + 2)^{3n + 2} - (-1)^n (3n + 1)^{3n + 1}$$

делится на число

$$3 ((n + 1)^3 - n^3)^2.$$

Что на 3 делится, очевидно.
Обозначим

$$X^2=((n + 1)^3 - n^3)^2 = (3n^2+3n+1)^2$$

и с точностью до

$$X$$

:

$$(3n + 2)^{3n + 2}=(9n^2+12n+4)(27n^3+54n^2+36n+8)^n=$$

$$=(3X+3n+1)(9(n+1)X-1)^n=(-1)^n(3X+3n+1)(1-9n(n+1)X)$$

Аналогично со вторым слагаемым и увидим, что делится.