Один из способов открыть ларчик таков: подобные суммирования можно воспринимать как бесконечноместные операции (или операции бесконечной арности). Экзотика, конечно, но такое тоже встречается
...Громадные усилия многих поколений математиков на протяжении многих веков были посвящены вопросу о том, в каком именно смысле можно определить результат бесконечноместной операции. До XVIII века главенствовала греческая точка зрения "исчерпывания", которая и до сих пор является преобладающей в стандартных учебниках (стандартного) математического анализа...
В XVIII-XX веках появились гораздо более интересные воззрения на то, как следует определять результат бесконечноместной операции. Например, для сумм и произведений вещественных чисел различные (небанальные и, вообще говоря, не совпадающие между собой!) ответы на этот вопрос дают, среди прочего, бесконечная комбинаторика,
-адический анализ, теория функций комплексного переменного и нестандартный анализ. Так, например, с комплексно аналитической точки зрения имеет место равенство
(формула Эйлера для
), в то время как с точки зрения исчерпывания значения суммы
в левой части не определено, и большинство традиционных учебников математического анализа назовут этот ряд «расходящимся». Разумеется, манипуляции с бесконечными суммами такого вида требуют навыка и внимания, так как они не удовлетворяют обычным тождествам алгебры. Гуру такого рода манипуляций в XVIII веке был Эйлер, а в XX веке
Рамануджан. Самое замечательное, что при их выполнении они никогда (или почти никогда!) не ошибались. С точки зрения
-адического анализа сходящимся является ряд
, где
простое число, например, ряд
сходится
-адически.
В нашем случае всё завязано на комплексном анализе. Так что те, кто знают комплексный анализ, в принципе, должны понимать, почему сумма всех натуральных чисел равна
.