Отображение Пуанкаре и его инвариантная мера

[victor192]

Рассмотрим на гладком многообразии $M$ произвольную автономную систему: $\dot x = v (x),$
где $x = (x_1, \ldots, x_n)$ -локальные координаты. Рассмотрим на $M$ гиперповерхность $\Lambda$ трансверсальную векторному полю $v$, (т.е. $\forall x \in \Lambda : v(x) \notin T_x \Lambda$).
Возьмем произвольную точку $y \in \Lambda$ и пусть $\gamma_y(t)$ - решение исходной системы с начальными условиями $\gamma_y (0) = y$. Будем считать, что через некоторое время $\gamma_y(t)$ возвращается на $\Lambda$. Обозначим через $\tau$ $ момент первого возвращения:
$ \tau = \min \{\,t > 0 \mid \gamma_y (t) \in \Lambda\,\}. $
Тогда точка $z = \gamma_y(\tau)$ называется образом точки $y$ при отображении Пуанкаре $P$.


Я хочу выяснить следующий вопрос. Пусть исходная система $\dot x = v(x)$ имеет инвариантную меру с гладкой плотностью $\rho \ge 0$. Будет ли соответствующее отображение Пуанкаре также иметь инвариантную меру с неотрицательной плотностью?


Опровергающий пример не удается придумать, поэтому полагаю что ответ положительный. Но доказать не получается. Для доказательства нужно проверить, что для любого измеримого подмножества $I \subset \Lambda$ верно следующее равенство:
$\int\limits_{I} \rho^*(y) {d}y = \int\limits_{P(I)} \rho^*(y) {d}y,$
где $\rho^*$ - мера на $\Lambda$. Но явный вид плотности $\rho^*$ неизвестен. Если бы $\rho^*$ можно было бы выразить через плотность исходной меры $\rho$, тогда общая картина была более менее ясна.

Можете подсказать как доказать это утверждение? Заранее благодарю за помощь!

[dsge]

Попробуйте построить цилиндр над $\Lambda$ и взять производную от меры этого цилиндра по его высоте в точке 0.

[victor192]

dsge в сообщении #1135461 писал(а):

Попробуйте построить цилиндр над $\Lambda$ и взять производную от меры этого цилиндра по его высоте в точке 0.

Рассмотрим цилиндр $Z_h = \Lambda \times H$. Пусть $\mu$ - инвариантная мера на $M$.

Мера цилиндра есть: $\int\limits_{Z_h} \hat \mu = \int\limits_{\Lambda} \hat \mu \int\limits_{H} \hat \mu$, где $\hat \mu = \rho (x) {d} x$. Мера $\Lambda$ есть: $\mu \Lambda = \int\limits_{\Lambda} \rho^*(y) {d}y$.

Продифференцируем по $h \in H$, получим:
$\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{Z_h} \hat \mu = \int\limits_{\Lambda} \rho^*(y) {d} y \cdot \big ( \frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{H} \hat \mu \big )$.

Если я правильно понимаю, то производная $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{H} \hat \mu$ равна 1. Но как вычислить производную в левой части равенства?

[dsge]

Слева - определение. Осталось доказать, свойство инвариантности у того, что получилось.

[victor192]

dsge в сообщении #1135505 писал(а):

Осталось доказать, свойство инвариантности у того, что получилось.

Рассмотрим цилиндр $\tilde Z_h = P(\Lambda) \times H$. Тогда справедливо еще одно равенство: $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{\tilde Z_h} \hat \mu = \int\limits_{P(\Lambda)} \rho^*(y) {d} y \cdot \big ( \frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{H} \hat \mu \big )$.

Правильно ли я понимаю, что $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{Z_h} \hat \mu$ и $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{\tilde Z_h} \hat \mu$ равны? И это должно вытекать из инвариантности $\mu$?

[dsge]

victor192 в сообщении #1135513 писал(а):

Рассмотрим цилиндр $\tilde Z_h = P(\Lambda) \times H$.

Лучше рассмотреть образ $ Z_h $.

[victor192]

dsge в сообщении #1135519 писал(а):

victor192 в сообщении #1135513 писал(а):

Рассмотрим цилиндр $\tilde Z_h = P(\Lambda) \times H$.

Лучше рассмотреть образ $ Z_h $.

Рассмотри цилиндр $\tilde Z_h = g^{\tau} (Z_h)$, где $g^t$ - фазовый поток исходной системы.

Получаем равенство: $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{g^{\tau} (Z_h)} \hat \mu = \int\limits_{g^{\tau}(\Lambda)} \rho^*(y) {d} y \cdot \big ( \frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{g^{\tau} (H)} \hat \mu \big )$.

Поскольку $\mu$ - инвариантная мера, то $\frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{Z_h} \hat \mu = \frac{{d}}{{d} h} \int\limits_{g^{\tau} (Z_h)} \hat \mu$. Отсюда получаем следующее равенство: $\int\limits_{\Lambda} \rho^*(y) {d} y = \int\limits_{g^{\tau}(\Lambda)} \rho^*(y) {d} y$.

Верно ли, что $g^{\tau} (\Lambda) = P(\Lambda)$? Ведь в отображении Пуанкаре мы берем минимальное время для каждой точки, а у фазового потока оно фиксировано.

[dsge]

Да, так просто не получится.

[DeBill]

victor192
Может быть, конструкцию стоит изменить следующим образом. Пусть $\sigma \subset \Lambda$ , а цилиндр $Z_h$ состоит из точек $g^t(x), 0 \leqslant t \leqslant h, x\in \sigma$. Положим $\rho^{*}(\sigma) = \frac{d}{dh} \rho (Z_h) |_{ h=0}$
Кажется правдоподобным, что имеет место теорема Фубини:
$\rho (S) = \int\limits_{s}^{} t(x) d\rho^*(x)$, где $s$ - проекция $S$ на $\Lambda$ вдоль фазовых кривых, $t(x)$ - длина интервала $I_x$, состоящего из всех точек $t$, таких что $g^t(x) \in S$ (Типа: для области $S$ - "хорошей", "недалеко " от $\Lambda$ - режем ее на "полоски" фазовыми кривыми, полоски разбиваем на кусочки, переводимые друг в друга фазовым потоком, и т.п. - как в настоящей т. Фубини... Потом - для области "далеко от $\Lambda$", и - опа! уже и нет нужды определять проекцию $S$ на $\Lambda$ вдоль "коротких" путей - а можно и вдоль "длинных" - приходящих на $\Lambda$ с другой стороны - но это и будет означать инвариантность построенной меры).

-- 04.07.2016, 00:04 --

Понятно, что это лишь набросок. Но ключевая идея - определить меру именно так, и доказать т. Фубини - выгдядит привлекательно. По крайней мере, именно так бы (формулой а-ля теорема Фубини) я бы строил инвариантную меру для потока по $P$- инвариантной мере на трансверсали.

[victor192]

DeBill в сообщении #1135559 писал(а):

Положим $\rho^{*}(\sigma) = \frac{d}{dh} \rho (Z_h) |_{ h=0}$

Не совсем корректно. Правильнее так: $\mu^* (\sigma) = \frac{{d}}{{d}h} \mu (Z_h) |_{h=0}$, поскольку $\rho$ это все таки плотность меры.

DeBill в сообщении #1135559 писал(а):

Потом - для области "далеко от $\Lambda$", и - опа! уже и нет нужды определять проекцию $S$ на $\Lambda$ вдоль "коротких" путей - а можно и вдоль "длинных" - приходящих на $\Lambda$ с другой стороны - но это и будет означать инвариантность построенной меры.

Можете подробнее обьяснить этот момент? Откуда мы получим инвариантность и почему?

[DeBill]

Ну, если у нас будет "Теорема Фубини", то будет не только инвариантность меры относительно сдвигов за фиксированное время, но и относительно преобразований, когда каждая точка фазовой кривой сдвигается на фиксированное, но - для каждой кривой - свое - время. В частности, за время, равное времени первого возвращения на трансверсаль. А это позволит вместо исходного цилиндра использовать такой же цилиндр, но примыкающий к $P(\sigma)$...

[DeBill]

victor192 в сообщении #1135566 писал(а):

Не совсем корректно. Правильнее так

Да, конечно.
Про "Фубини". Видимо, надо делать так:
Выпрямим поле. Получим для плотности $\rho$:
$\iint\limits_{S}^{} \rho (x,y) dxdy = \iint\limits_{S}^{} \rho (x+t,y) dxdy$, для всех $S$ и $t$. Отсюда следует независимость $\rho$ от $x$- координаты.
Отсюда следует инвариантность меры относительно "кривых" сдвигов, описанных выше, и т.д....
Ха , впрочем, все можно сделать много проще.
Именно, рассмотрим площадку $\sigma \subset \Lambda$, и пусть $S$ - объединение всех фазовых кривых с началом в точках $x$ из $S$ и концами $P(x)$ (нарисуйте картинку). Пусть $S_t = g^t (S)$. Тогда $\mu (S_t) = \mu (S)$. Но тогда $\mu (Z_t(\sigma)) = \mu (Z_t(P(\sigma)))$, откуда и следует $P-$ инвариантность построенной нами меры $\mu^*$

[victor192]

DeBill в сообщении #1135595 писал(а):

и пусть $S$ - объединение всех фазовых кривых с началом в точках $x$ из $S$

Так $S$ это множество около $\sigma$, а у вас получается определение через определение. Не совсем понятно. Может быть это обьединение вы хотели по другому обозначить?

DeBill в сообщении #1135595 писал(а):

и концами $P(x)$ (нарисуйте картинку).

Скорее, концами $P(\sigma)$.

[svv]

Простите, я не специалист. Я сформулирую на языке дифференциальных форм, ОК?
Итак, у нас есть векторное поле $v$ и $n$-форма (фазового) объёма $\omega$. Насколько я понимаю, её инвариантность означает, что $\mathcal L_v\omega=0$.

Нам надо построить инвариантную форму $(n-1)$-мерного объёма на $\Lambda$. По-моему, это $\iota_v\omega$. Её инвариантность очевидна, или надо пояснить?

[victor192]

svv в сообщении #1135609 писал(а):

Простите, я не специалист. Я сформулирую на языке дифференциальных форм, ОК?
Итак, у нас есть векторное поле $v$ и $n$-форма (фазового) объёма $\omega$. Насколько я понимаю, её инвариантность означает, что $\mathcal L_v\omega=0$.

Нам надо построить инвариантную форму $(n-1)$-мерного объёма на $\Lambda$. По-моему, это $\iota_v\omega$. Её инвариантность очевидна, или надо пояснить?

Насколько я понимаю, чтобы проверить инвариантность, нужно проверить что производная Ли от формы $\iota_v\omega$ вдоль векторного поля отображения Пуанкаре равна нулю. Но вид этого векторного поля нам неизвестен. Можете пояснить, откуда мы получим инвариантность тогда?