Отображение Пуанкаре и его инвариантная мера

[svv]

Обозначим нашу форму $\alpha=\iota_v\omega$.

victor192 в сообщении #1135615 писал(а):

Насколько я понимаю, чтобы проверить инвариантность, нужно проверить что производная Ли от формы $\iota_v\omega$ вдоль векторного поля отображения Пуанкаре равна нулю.

Совершенно верно. В частности, это гарантирует, что если какая-то интегральная кривая поля $v$, выйдя из точки $p\in\Lambda$, вернётся через один или несколько оборотов в ту же точку $p$, то форма $\tilde\alpha$, полученная из $\alpha$ в той же точке с помощью переноса потоком, совпадёт с $\alpha$.

Воспользуемся дважды тождеством Картана (оно же формула гомотопии). Сначала применим его к форме $\omega$:
$\mathcal L_v \omega = \iota_v d\omega+d\iota_v \omega$
Слева нуль в силу инвариантности $\omega$. Справа первое слагаемое равно нулю, так как $\omega$ — ненулевая форма максимально возможной степени, и $d\omega=0$. Следовательно, и $d\iota_v \omega=0$.

Теперь применим тождество Картана к $\alpha$:
$\mathcal L_v \alpha=\iota_v d \iota_v\omega+d(\iota_v \iota_v\omega)$
В правой части первое слагаемое нулевое, т.к. $d \iota_v\omega=0$, а второе равно нулю в силу кососимметричности форм (два совпадающих векторных аргумента). Следовательно,
$\mathcal L_v \alpha=0$

[victor192]

svv, ошибок в вашем доказательстве не нахожу. Думаю решение верное. Спасибо за помощь!

Кстати по поводу решения DeBill. Возьмем множество $\sigma \subset \Lambda$ и любую его точку $y \in \sigma$, выпустим из нее решение $\gamma_y (t)$. Рассмотрим криволинейный участок фазовой кривой $\Omega_y = \{\gamma_y (t), \; t \in [0, \tau]\}$, где $\tau$ - "то самое" минимальное время из определения отображения Пуанкаре.
Введем множество $S = \bigcup\limits_{y \in \sigma} \Omega_y$ и рассмотрим его фазовый поток $S_t = g^t(S)$.
Имеем очевидное равенство: $(S_t/S)/(S/S_t) = Z_t(P(\sigma))/Z_t(\sigma)$. Возьмем от него меру. В левой части получиться 0, поскольку $\mu$ - инвариантная мера. Тогда $\mu(Z_t(P(\sigma))) = \mu (Z_t(\sigma))$.

Если я правильно понял, то вы именно такое решение имели ввиду.

[DeBill]

victor192
Пардон, опечатка. Ну, можно было и догадаться, об чем речь.
Точное определение: Пусть для $x \in \Lambda$,$T(x) $ есть время первого возвращения на трансверсаль. Тогда $S =\{ g^t (x) | x \in \sigma, 0 \leqslant t < T(x)\}$

-- 04.07.2016, 16:38 --

А, уже написали - не заметил. Да, все правильно.
Но решение svv - универсальнее: инвариантность формы позволяет перетащить ее на пространство орбит, которое одновременно есть и фактор $\Lambda$ по действию $P$. Поднятие полученной формы с пространства орбит на накрывающую $P$ автоматически будет инвариантно относительно преобразования наложения $P$....

[svv]

Спасибо, DeBill victor192, спасибо, задача интересная.

[victor192]

DeBill, похоже, в наших с вами рассуждениях есть ошибка.

Получено равенство множеств: $(S_t \setminus S) \setminus (S \setminus S_t) = Z_t(P(\sigma)) \setminus Z_t (\sigma)$.
В левой части пустое множество. Мера от него ноль. Берем меру от правой части. Но мы не можем просто так взять меру от разности множеств, поскольку мера от разности множеств не равна разности мер. Получается что меры $\mu(Z_t(P(\sigma)))$ и $\mu(Z_t(\sigma))$ не равны?

[DeBill]

victor192
Да вроде бы все хорошо: Вашу формулу

victor192 в сообщении #1135639 писал(а):

: $(S_t/S)/(S/S_t) = Z_t(P(\sigma))/Z_t(\sigma)$

следует читать как
$(S_t\setminus S) = Z_t(P(\sigma))$ и
$(S\setminus S_t)=Z_t(\sigma)$ (я ее так и прочел, интерпретировав slash как "соответственно" ). Поскольку меры $S$ и $S_t$ равны, меры разностей также равны...

[victor192]

DeBill, Да, вы правы. Только нужно более аккуратно: $\mu(S_t \setminus S) = \mu(S_t) - \mu(S_t \cap S)$ и аналогичное равенство для $\mu(S \setminus S_t)$. Тогда после вычитания двух равенств получается что меры $Z_t (P(\sigma))$ и $Z_t (\sigma)$ равны.

P.S. Совсем забыл что символ $\setminus$ используется для разности множеств, я его перепутал с обратным $/$.