Поиск экстремумов фнп

[yaden]

Здравствуйте!
Есть функция $u=xy^2z^3(49-x-2y-3z)$
Требуется найти экстремумы функции.
Я пришел к выводу, что стационарными точками являются все точки, принадлежащие множеству, где $y=0$ или $z=0$, а также точка$(7,7,7)$. Точка $(7,7,7)$ оказалась экстремум функции. Как узнать есть ли на множествах, где $y=0$ или $z=0$ экстремумы данной ф-ции?

[svv]

yaden в сообщении #1135268 писал(а):

стационарными точками являются все точки, принадлежащие множеству, где $y=0$ или $z=0$, а также точка$(7,7,7)$

А ещё — где $x=0,\; 2y+3z=49$.

[yaden]

svv в сообщении #1135270 писал(а):

yaden в сообщении #1135268 писал(а):

стационарными точками являются все точки, принадлежащие множеству, где $y=0$ или $z=0$, а также точка$(7,7,7)$

А ещё — где $x=0,\; 2y+3z=49$.

Действительно потерял,спасибо)
но яснее от этого не стало...

[Jiggy]

yaden
Что не ясно? Смотришь когда градиент равен 0 и все. Или проблема именно в переборе вариантов, когда градиент равен 0?

[svv]

Существует процедура, по которой надо найти матрицу из вторых частных производных, потом выяснить, является ли соответствующая квадратичная форма положительно или отрицательно определённой, либо неопределённой, что в большинстве случаев уже даёт ответ на вопрос об экстремумах. Это не очень просто.

Если мы этого не хотим, можно так. Во всех «спорных» случаях у Вас есть целая плоскость ($y=0$ или $z=0$) или линия ($x=0,\; 2y+3z=49$), на которых функция $u$ принимает одно и то же значение $0$. Значит, строгого экстремума здесь в любом случае не будет. Далее исследовать, где функция $u$ положительна, где отрицательна и где равна нулю. И для точек, подозрительных на экстремум, выяснить, есть ли у них «знакоопределённые» (вернее, полуопределённые) окрестности.

[yaden]

svv в сообщении #1135321 писал(а):

Существует процедура, по которой надо найти матрицу из вторых частных производных, потом выяснить, является ли соответствующая квадратичная форма положительно или отрицательно определённой, либо неопределённой, что в большинстве случаев уже даёт ответ на вопрос об экстремумах. Это не очень просто.

Если мы этого не хотим, можно так. Во всех «спорных» случаях у Вас есть целая плоскость ($y=0$ или $z=0$) или линия ($x=0,\; 2y+3z=49$), на которых функция $u$ принимает одно и то же значение $0$. Значит, строгого экстремума здесь в любом случае не будет. Далее исследовать, где функция $u$ положительна, где отрицательна и где равна нулю. И для точек, подозрительных на экстремум, выяснить, есть ли у них «знакоопределённые» (вернее, полуопределённые) окрестности.

Большое спасибо)