Нестандартные задачи

[ИСН]

Смотрите-ка, а ведь верно.
"Такая ерунда, а мы не додумались".

[student]

RIP писал(а):

Брут форс даёт
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/23+1/721+1/979007+
+1/661211444787+1/622321538786143185105739+
+1/511768271877666618502328764212401495966764795565+
+1/209525411280522638000804396401925664136495425904830384693383280180439963265695525939102230139815

(Надеюсь, списал без ошибок ).

В таком случае лучше соглашаться чем проверит!

А если вместо $k$ возмем например 2007?

[RIP]

Поскольку
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/25+1/207+1/28307+1/24439202289+
+1/398183072324002690725,
то с учётом предыдущего примера получаем, что такое разложение можно найти для любого $k$ вида $k=1+12a+10b$, где $a,b\in\mathbb N_0$. $2007=1+12\cdot3+197\cdot10$.

[Nilenbert]

Ну насколько известно, единицу можно разложить в сумму $k$ обратных к нечётным, если $k$ - нечётно и $k>7$ .
Пример при $k=9$:

$$ 1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{231}+\frac{1}{315} $$

[RIP]

Мораль: не надо жадничать!

[student]

RIP писал(а):

Поскольку
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/25+1/207+1/28307+1/24439202289+
+1/398183072324002690725,
то с учётом предыдущего примера получаем, что такое разложение можно найти для любого $k$ вида $k=1+12a+10b$, где $a,b\in\mathbb N_0$. $2007=1+12\cdot3+197\cdot10$.

Не понял! А как можно доказать?

[RIP]

student писал(а):

Не понял! А как можно доказать?

В первом примере 13 слагаемых, во втором - 11. Теперь разложения можно размножать по следующей схеме: взять разложение и заменить последнее слагаемое (с самым большим знаменателем) либо на 13, либо на 11 слагаемых с ещё большим знаменателем (т.е. записать его в виде $1/n_k=\frac1{n_k}\cdot1$ и последнюю единичку заменить на нужное кол-во слагаемых).

[student]

Красиво! С учетом примера Nilenbert можно даже и для $1+8a+10b$ !
А можно ли найти :
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/25+1/207+1/28307+1/24439202289+1/398183072324002690725,
или другой пример без компютера?

[Nilenbert]

Конечно можно без компа, я в 11-м классе это делал с калькулятором, сам доказал, что это можно сделать для любого нечётного $k>7$, а потом нашёл статью в "Кванте" про это, правда сейчас не вспомню в каком.
Вот ещё пример:

$$ 1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{45}+\frac{1}{231} $$

Вот кстати полезная ссылка:
www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/odd-one.html

[RIP]

student писал(а):

С учетом примера Nilenbert можно даже и для $1+8a+10b$ !

С учётом его примера такое представление можно найти для любого нечётного $k>7$. Для этого осталось предъявить представление с $15$ слагаемыми.

student писал(а):

А можно ли найти :
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/25+1/207+1/28307+1/24439202289+1/398183072324002690725,
или другой пример без компютера?

Конечно, можно, если не жалко времени и сил. Алгоритм-то простой. Правда, я так и не понял, почему он работает (теоретически обосновать его мне сходу не удалось ).

[Sergic Primazon]

student писал(а):

Существуют ли натурльное $k>1$ и нечетные числа $n_i,\ i=\overline{1,k}, n_i\ne n_j$ при $i\ne j$ для которых
$\frac{1}{n_1}+\ldots+\frac{1}{n_k}$- принимает целое значение?

Очень хорошая статья на эту тему в " Кванте " №7 за 1987 год.

[student]

Многочлен $P(t)$ для всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяет
$P(\sin x)+P(\cos x)=1$
Какие значения можеть принимать степень этого многочлена?

Жирный шрифт убран. // нг

[нг]

student
Не злоупотребляйте выделением.

[bobo]

student писал(а):

Многочлен $P(t)$ для всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяет
$P(\sin x)+P(\cos x)=1$
Какие значения можеть принимать степень этого многочлена?

Дифференцируя по $x$, получаем $P'(\sin x)\cos x = P'(\cos x)\sin x$ . Пусть $Q(x)=\frac{P'(x)}{x}$ и покажем, что этот многочлен - константа. Имеем $Q(\sin x)=Q(\cos x) \leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^n a_k(\sin x)^k = \sum\limits_{k=0}^n a_k(\cos x)^k \leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^n a_k((\sin x)^k - (\cos x)^k) = 0$. В последнем равенстве можно выбрать $n$ различных $x_i$ так, чтобы определитель матрицы линейной системы относительно $a_k$ был ненулевым, но тогда эта система имеет только нулевое решение и поэтому $Q(x) = a_0 = const$. Откуда $P(x) = cx^2+b$. Подставляя в условие задачи, получаем возможные случаи $c=1, b=0$, либо $c=0, b = 1/2$ ( т.е. степень многочлена равна 2 или 0).

[RIP]

bobo писал(а):

В последнем равенстве можно выбрать $n$ различных $x_i$ так, чтобы определитель матрицы линейной системы относительно $a_k$ был ненулевым...

Вот тут поподробней, если можно.

P.S. Многочлен $P(x)=(2x^2-1)^3+\frac12$ удовлетворяет условию задачи. Поскольку я уже видел эту задачу на матлинксе, то не буду писать решение.