Пространство без фундаментальных последовательностей

[Dmitry Tkachenko]

Существует ли метрическое пространство $(X, \rho)$, в котором нет фундаментальных последовательностей, то есть $\forall \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset X \quad \exists \varepsilon>0 \quad \forall N\in \mathbb{N} \quad \forall n,m>N : \rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon$ ?

[Otta]

Стационарная (и даже стабилизирующася) последовательность всегда фундаментальна, не? хоть какая метрика.

(Отрицание фундаментальности неверно написано.)

[mihaild]

Существует, причем только одно: $X = \emptyset$.

[Otta]

mihaild
А как Вы на ём метрику определяете?

[mihaild]

Otta, $\rho = \left<\varnothing, \mathbb{R}, \varnothing\right>$ - функция $\varnothing \times \varnothing \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая аксиомам метрики. Что не так?

[Mikhail_K]

Otta в сообщении #1134238 писал(а):

mihaild
А как Вы на ём метрику определяете?

Понятно как: пустая функция $\rho:\varnothing\times\varnothing\to\mathbb{R}$ и будет метрикой.
Такую функцию можно определить, как и любую функцию, через подмножества: именно, как подмножество $(\varnothing\times\varnothing)\times\mathbb{R}=\varnothing$ такое, что для любых двух его элементов $(v_1,r_1)$ и $(v_2,r_2)$ из $v_1=v_2$ следует $r_1=r_2$ (здесь $v_1,v_2\in\varnothing\times\varnothing$, $r_1,r_2\in\mathbb{R}$). Ясно, что такое подмножество существует :)

Более содержательно было бы интерпретировать вопрос ТС так: существует ли метрическое пространство, в котором любая нестабилизирующаяся последовательность нефундаментальна. Да, существует: пространство изолированных точек над любым множеством.

-- 27.06.2016, 19:02 --

Dmitry Tkachenko, а вот составлять отрицания для утверждений с кванторами Вам стоит поучиться.

[Otta]

mihaild в сообщении #1134239 писал(а):

Что не так?

Да все так ) это я занудствую. Все-таки метрическое пространство - не только множество.