2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:35 
Существует ли метрическое пространство $(X, \rho)$, в котором нет фундаментальных последовательностей, то есть $\forall \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset X \quad \exists \varepsilon>0 \quad \forall N\in \mathbb{N} \quad \forall n,m>N : \rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon$ ?

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:38 
Стационарная (и даже стабилизирующася) последовательность всегда фундаментальна, не? хоть какая метрика.

(Отрицание фундаментальности неверно написано.)

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:39 
Аватара пользователя
Существует, причем только одно: $X = \emptyset$.

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:41 
mihaild
:mrgreen: А как Вы на ём метрику определяете?

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:50 
Аватара пользователя
Otta, $\rho = \left<\varnothing, \mathbb{R}, \varnothing\right>$ - функция $\varnothing \times \varnothing \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая аксиомам метрики. Что не так?

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 18:53 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1134238 писал(а):
mihaild
:mrgreen: А как Вы на ём метрику определяете?

Понятно как: пустая функция $\rho:\varnothing\times\varnothing\to\mathbb{R}$ и будет метрикой.
Такую функцию можно определить, как и любую функцию, через подмножества: именно, как подмножество $(\varnothing\times\varnothing)\times\mathbb{R}=\varnothing$ такое, что для любых двух его элементов $(v_1,r_1)$ и $(v_2,r_2)$ из $v_1=v_2$ следует $r_1=r_2$ (здесь $v_1,v_2\in\varnothing\times\varnothing$, $r_1,r_2\in\mathbb{R}$). Ясно, что такое подмножество существует :)

Более содержательно было бы интерпретировать вопрос ТС так: существует ли метрическое пространство, в котором любая нестабилизирующаяся последовательность нефундаментальна. Да, существует: пространство изолированных точек над любым множеством.

-- 27.06.2016, 19:02 --

Dmitry Tkachenko, а вот составлять отрицания для утверждений с кванторами Вам стоит поучиться.

 
 
 
 Re: Пространство без фундаментальных последовательностей
Сообщение27.06.2016, 19:05 
mihaild в сообщении #1134239 писал(а):
Что не так?

Да все так ) это я занудствую. Все-таки метрическое пространство - не только множество. :oops:

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group