Правило Кондорсе и транзитивность

[MestnyBomzh]

Добрый день! Как известно, правило Кондорсе не удовлетворяет условию транзитивности. Следует ли отсюда, что коллективное решение не будет являться линейным, частичным, слабым порядком?

[Someone]

Определения сформулируйте, пожалуйста.

[MestnyBomzh]

Someone
1) Правило выбора победителя по Кондорсе: каждый из голосующих упорядочивает кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Согласно принципу де Кондорсе, справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них.
2) Отношение $R$ транзитивно, если $\forall a,b,c \in X, aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc$
3) Бинарное отношение называется отношением нестрого частичного порядка, если имеют место рефлексивность, антисимметричность, транзитивность.
4) Бинарное отношение называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка + выполнено условие полноты, то есть для любых $a,b$ выполнено либо $aRb$, либо $bRa$
А вот определение слабого порядка я так и не нашел. Но есть подозрение, что транзитивность требуется и там тоже

[epros]

MestnyBomzh в сообщении #1134041 писал(а):

А вот определение слабого порядка я так и не нашел. Но есть подозрение, что транзитивность требуется и там тоже

Есть подозрение, что любой порядок требует транзитивности. Тогда в чём вопрос? Не удовлетворяет транзитивности $\Rightarrow$ не является порядком.

[MestnyBomzh]

epros
Я просто сомневался в том, что слабый требует её.

-- 26.06.2016, 13:47 --

Тогда такой вопрос про рефлексивность. В порядках есть понятие строгости. Бывают строгие, бывают нестрогие порядки. Отличаются они рефлексивностью. В одном случае выполнено условие рефлексивности, в другом антирефлексивности. Что вообще означает рефлексивность при коллективном принятии решений? Не сравнивают же альтернативу саму с собой?

[epros]

Рефлексивность или антирефлексивность означает, что отношение порядка включает равенство ($\geqslant$) или исключает его ($>$). Наличие нестрогого порядка означает, что некоторые альтернативы могут быть равноценны. Строгий порядок такую возможность исключает.

[MestnyBomzh]

epros
Разве это не условие полноты? Например, если мы ранжировали альтернативы и получили такой результат:
1) $a,b$
2) $c,d$
Тут получается так, что мы не можем сравнить $a$ и $b$, это означает, что нарушено условие полноты, а рефлексивность сравнивает элемент с самим собой, а тут $a$ и $b$ разные всё же элементы. Или я что-то не так понимаю?

[epros]

Что за условие полноты? Полный порядок - частный случай линейного порядка. Линейный порядок - частный случай частичного порядка.

Вашего примера я не понял. У Вас что, $a$ равноценно $b$, а $c$ равноценно $d$, при этом первая группа - лучше второй? Тогда это - линейный порядок. Какая проблема в том, что $a \geqslant b \wedge b \geqslant a$ (это обычно записывают как $a=b$)? Разумеется "$a$ и $b$ разные всё же элементы", но при этом "эквивалентные" или, если хотите, "равноценные", но это не имеет никакого отношения к рефлексивности отношения.

[MestnyBomzh]

epros в сообщении #1134071 писал(а):

Что за условие полноты?

Это условие того, что мы можем сравнить два любых элемента, другими словами $aRb$, либо $bRa$. Здесь получается, что мы их не можем сравнить, разве нет?

epros в сообщении #1134071 писал(а):

У Вас что, $a$ равноценно $b$, а $c$ равноценно $d$, при этом первая группа - лучше второй?

Да, всё верно. Я могу привести предпочтения избирателей для такого случая, если надо..

[epros]

MestnyBomzh в сообщении #1134076 писал(а):

мы можем сравнить два любых элемента, другими словами $aRb$, либо $bRa$

Это называется линейным порядком.

MestnyBomzh в сообщении #1134076 писал(а):

Здесь получается, что мы их не можем сравнить, разве нет?

Можем сравнить и убедиться в их равноценности.

[MestnyBomzh]

epros в сообщении #1134071 писал(а):

если хотите, "равноценные", но это не имеет никакого отношения к рефлексивности отношения

Окей, а что такое тогда рефлексивность в коллективном принятии решений?
И еще вопрос, тогда если коллективное решение оказалось
1) $a,b$
2) $c,d$
, то это будет линейным порядком, потому что сравнивая $a$ и $b$ убеждаемся, что они равнозначны? То есть мы их можем сравнить?

[epros]

MestnyBomzh в сообщении #1134078 писал(а):

Окей, а что такое тогда рефлексивность в коллективном принятии решений?

Рефлексивность не в "коллективном принятии решений", а часть определения нестрогого порядка.

MestnyBomzh в сообщении #1134078 писал(а):

это будет линейным порядком, потому что сравнивая $a$ и $b$ убеждаемся, что они равнозначны? То есть мы их можем сравнить?

Это будет линейным порядком, потому что любые $a$ и $b$ можно сравнить, даже если некоторые из них окажутся равнозначными.

[MestnyBomzh]

epros в сообщении #1134081 писал(а):

Рефлексивность не в "коллективном принятии решений", а часть определения нестрогого порядка.

Ну это понятно. Но вот дано мне коллективное решение. И спрашивается: каким порядком является данное коллективное решение? Я, разумеется, буду проверять все условия. И вот как проверить условие рефлексивности?

[epros]

MestnyBomzh в сообщении #1134084 писал(а):

И вот как проверить условие рефлексивности?

Разумеется, сравнением каждой альтернативы самой с собой. И если процедура формирования общественных предпочтений такова, что альтернативы не окажутся равнозначными сами себе, то я Вам скажу, что это очень странная процедура.

[MestnyBomzh]

Понял. Тогда можно такой вопрос. Вот мы ранее с Вами выяснили, что, например, коллективное решение
1) $a,b$
2) $c,d$
будет линейным порядком, потому что мы можем сравнить все элементы. Но у меня возник такой вопрос: а когда мы вообще не можем сравнить пару альтернатив? Есть ли вообще такой пример при принятии коллективного решения? Не обязательно Кондорсе, может есть какой-нибудь другой пример, хотелось бы посмотреть