Рубаков. Глава 13. Задача 13.

[tech]

Здравствуйте.

При решении задачи 13 из 13-й главы книги Рубакова "Классические калибровочные поля" у меня возникли некоторые технические сложности. Всю задачу я переписывать не буду, укажу только то место, где у меня случился затык.

Для нахождения степени отображения в явном виде необходимо посчитать такую производную (это и есть затык):

$$\partial_i \exp{\bigg( -i\tau^a\frac{x^a}{|\vec{x}|}F(|\vec{x}|)}\bigg)$$

$\tau^a$ – это генераторы $SU(2)$, и коммутируют они не в $0$:

$$[\tau^a,\tau^b]=2i\varepsilon^{abc}\tau^c$$

Поэтому матричная экспонента в произведение трёх не разбивается, что усложняет вычисления. И я пока не смог понять, что должно получиться в результате. То, что не получится привычное выражение вида

$$-i\tau^a\partial_i\bigg(\frac{x^a}{|\vec{x}|}F(|\vec{x}|)\bigg)\exp{\bigg(...\bigg)}$$

понятно, если записать экспоненту в виде ряда. Например,

$$\partial_1\bigg({1-i\tau^a x^a +\frac{1}{2}\big({-i\tau^a x^a}\big)^2}+...\bigg)=-i\tau_1-\frac{1}{2}\bigg(2\tau_1^2x_1+\{\tau_1,\tau_2\}x_2+\{\tau_1,\tau_3\}x_3 \bigg)+...$$

Фигурные скобки – антикоммутатор.

Короче говоря, там выскакивают разные коммутаторы, и чем дальше, тем хуже; я пробовал дальше дифференцировать ряд (хотя бы ещё один член), но не разглядел там закономерности да и вообще запутался.

Помогите, пожалуйста, понять, как справиться с этой штукой.

[amon]

Ландау-Лифшиц, квантовая механика. Задача 1 к параграфу 55 (оператор спина).

[tech]

Ох, ну ничего ж себе, как всё просто. Спасибо.