Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство

[kp9r4d]

Пусть $F: \operatorname{Pos}M_n(\mathbb{C}) \to M_m (\mathbb{C})$ где $\operatorname{Pos} M_n(\mathbb{C})$ - множество положительных над $\mathbb{C}$ матриц (т.е. самосопряжённых и со строго положительным спектром). Где $\varphi : M_n(\mathbb{C}) \to M_m(\mathbb{C})$ - изометрический оператор. $T \in M_m(\mathbb{C})$ - некоторый оператор с нормой $1$, $0<q<1$. Определим отображение $F$.

$$F(x) = 1 + q \varphi(\sqrt{x}) T \varphi(\sqrt{x})$$

я утверждаю, что если $x,y> 0$ и $||x|| < \frac{1}{1-q}$ и $||y|| < \frac{1}{1-q}$ то имеет место $||F(x) - F(y)|| \leqslant q ||x - y||$. Доказательство. Вспомним теорему о конечных приращениях

$$||F(x) - F(y)|| \leqslant \sup_{\eta \in [x..y]} ||dF(\eta)|| ||x - y||$$

вычислим дифференциал

$$dF(x)(h) =q \varphi(d \sqrt{x} (h) ) T \varphi(\sqrt{x}) + q \varphi(\sqrt{x}) T \varphi(d \sqrt{x} (h) )$$

мы знаем дифференциал корня

$$d\sqrt{A}(H) = \int_0^{\infty}e^{-t\sqrt{A}}He^{-t\sqrt{A}}dt$$

оценимм его норму, считая $||A|| < \frac{1}{1-q}$

$$||d\sqrt{A}(H)|| = ||H|| \int_0^{\infty}e^{-2t||\sqrt{A}||}dt \leqslant ||H|| \int_0^{\infty}e^{-\frac{2t}{\sqrt{1-q}}}dt|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}||H||$$

откуда

$$||d\sqrt{A}|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}$$

и

$$||dF(x)|| \leqslant 2q ||\varphi(d \sqrt{x} (h) )|| ||T|| ||\varphi(\sqrt{x})|| \leqslant 2q \frac{\sqrt{1-q}}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-q}} = q$$

поэтому из

$$||F(x) - F(y)|| \leqslant \sup_{\eta \in [x..y]} ||dF(\eta)|| ||x - y||$$

$$||x|| < \frac{1}{1-q}, ||y|| < \frac{1}{1-q}$$

получам

$$||F(x) - F(y)|| \leqslant q ||x-y||$$

.

Хотелось бы, чтобы уважаемые участники проверили корректность доказательства, спасибо!

[Slav-27]

А норма у матриц непонятно какая?

А $F$ дифференцируемо?..

[kp9r4d]

У каких матриц?

-- 23.06.2016, 20:03 --

Да, дифференциал я выписал.

[Slav-27]

Ну в смысле норма задана непонятно какая или считается, что она, например, эрмитова (корень из суммы квадратов модулей элементов)?

[kp9r4d]

Slav-27
Норма спектральная.

[Slav-27]

kp9r4d в сообщении #1133541 писал(а):

оценимм его норму, считая $||A|| < \frac{1}{1-q}$

$$||d\sqrt{A}(H)|| = ||H|| \int_0^{\infty}e^{-2t||\sqrt{A}||}dt \leqslant ||H|| \int_0^{\infty}e^{-\frac{2t}{\sqrt{1-q}}}dt|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}||H||$$

Чем хуже оценка для $||A||$, тем лучше для значения дифференциала...

А всё потому, что в показателе экспоненты минуса лишние.

[kp9r4d]

Slav-27
Ага, то есть по сути нужна оценка на наименьшее собственное число $\sqrt{A}$, пусть это $\alpha$, тогда $||e^{-t\sqrt{A}}|| =e^{-t \alpha}$. Так? Будем считать, что $\alpha = \frac{1}{\sqrt{1-q}}$ тоже. Что-нибудь ещё ломается?

[Slav-27]

А разве ещё не всё сломалось?

Дифференциал-то вы теперь не умеете оценивать вообще.

[kp9r4d]

Slav-27
Я с этим согласился и предложил модифицированную задачу: допустим я знаю, что наименьшее (а не только наибольшее) собственное число оператора $\sqrt{A}$ равно $\frac{1}{\sqrt{1-q}}$, тогда можно сделать вывод $||e^{-\sqrt{A}}|| = e^{-||\sqrt{A}||}$ в остальном всё правильно?

[Slav-27]

Понятно. Ну тогда ваши $x$ и $y$ просто числа (кратны единичным операторам)...

А почему под ваш изометрический оператор дифференциал так хорошо забрался?

Больше принципиальных проблем не вижу (хоть это не значит, что их нет).

[kp9r4d]

Slav-27
Да, спасибо.
Я обозначил наименьшее собственное число оператора $A$ как $\alpha$ и получил оценку $\leqslant \frac{q}{\sqrt{(1-q) \alpha}}$, что уже гораздо менее оптимистично и гораздо более реально (в моём случае).

Slav-27 в сообщении #1133696 писал(а):

А почему под ваш изометрический оператор дифференциал так хорошо забрался?

Да, надо было сказать, что это помимо того, что изометрический оператор, ещё и $^*$-гомоморфизм алгебр.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1133616 писал(а):

допустим я знаю, что наименьшее (а не только наибольшее) собственное число оператора $\sqrt{A}$ равно $\frac{1}{\sqrt{1-q}}$

Много ли самосопряженных операторов, у которых наименьшее собственное значение совпадает с наибольшим?

[kp9r4d]

g______d
Да я неправильно выразился. Я хотел спросить примерно следующее: допустим мы сделали вывод $||e^{-A}|| \leqslant e^{-||A||}$, будут ли рассуждения верны дальше (не используя непосредственно то, что $A=\operatorname{const}$)? Ну вроде как верны. В любом случае, после обозначения наименьшого собственного числа за $\alpha$ и вывода $||e^{-A}|| \leqslant e^{-\alpha}$ получается оцнека, которая была уже получена до меня (Лемма 5.1), что обидно. Правда я совсем чуть-чуть другой выкладкой получил, что может быть интересно. А может быть и нет.

[g______d]

Ладно, тогда вопрос по первоначальной задаче:

1) Если слагаемое 1 сокращается, выкинуть его из условия.

2) После этого условие, очевидно, однородно по $q$. Почему ограничения на $x$ и $y$ не однородны?

-- Вт, 28 июн 2016 19:14:01 --

Собственно, потому что инвариантная постановка будет с $F(x)=\varphi(\sqrt{x})T \varphi(\sqrt{x})$, $\|x\|$ и $\|y\|$ произвольны, $q=1$. Всегда хорошо избавиться от лишнего параметра.

[kp9r4d]

Ну они берутся вот откуда: если взять итерационный процесс
$X_0 = 1$
$X_{n+1} = F(X_n)$
($F$ на самом деле можно рассматривать не как отображение между матричными алгебрами, а как отображение некоторой более широкой $C^*$-алгебры в себя)
то не очень сложно показать, что $||X_n|| = 1 + q + q^2 + ... + q^n$, поэтому если бы этот итерационный процесс сходился, то его предел имел бы норму $\frac{1}{1-q}$, а я очень хочу показать, что он сходится. Поэтому мне достаточно только информации о точках $X_n$, а $\limsup_n ||X_n||=\frac{1}{1-q}$ в принципе вот.



-- 29.06.2016, 04:20 --

g______d в сообщении #1134613 писал(а):

Собственно, потому что инвариантная постановка будет с $F(x)=\varphi(\sqrt{x})T \varphi(\sqrt{x})$, $\|x\|$ и $\|y\|$ произвольны, $q=1$. Всегда хорошо избавиться от лишнего параметра.

Ну $q$ на самом деле - это $||T||$ я просто сделал замену $T \to \frac{T}{||T||}$.