Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1134616 писал(а):

Ну $q$ на самом деле - это $||T||$ я просто сделал замену $T \to \frac{T}{||T||}$.

Я к тому, что это $q$ можно вообще выкинуть, даже предполагая $\|T\|=1$. Тот факт, что $F$ липшицева с константой $q$, равносилен тому, что $q^{-1} F$ липшицева с константой 1. Кроме того, условие однородно относительно одновременного масштабирования $x$ и $y$, поэтому ограничение на их нормы тоже не по делу.

[kp9r4d]

g______d
Никогда не думал об этом с такого ракурса. Спасибо! Вы действительно очень помогли.

[g______d]

Вообще я тут подумал (операторы будем обозначать заглавными буквами): пусть $m=n=2$, $\varphi(X)=X$, $X=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}$, $Y=\begin{pmatrix}y&0\\0&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, тогда

$$ \varphi(\sqrt{X})T\varphi(\sqrt{X})=\begin{pmatrix}0&\sqrt{x}\\\sqrt{x}&0\end{pmatrix},\quad \varphi(\sqrt{Y})T\varphi(\sqrt{Y})=\begin{pmatrix}0&\sqrt{y}\\\sqrt{y}&0\end{pmatrix}, $$

и $\|F(X)-F(Y)\|=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$, которая не оценивается через $\|X-Y\|=|x-y|$.

[kp9r4d]

g______d
Да, я об этом тоже уже начал догадываться - численно проделал эксперименты, которые показали что константа Липшеца вовсе не 1. Но контрпример очень крутой, вообще не представляю, как такие придумывать можно - насколько хорошо нужно всё это чувствовать. Спасибо!