Процесс ОУ как марковский гауссовский стационарный процесс

[mushti]

Добрый день! Прошу помощи в решении такой интересной задачи, с которой столкнулся в книжке Крылова "Введение в случайные процессы".

Показать, что марковский гауссовский стационарный процесс (с непрерывными траекториями) является процессом Орнштейна-Уленбека.

Немножно определений: Стационарный случайный процесс $\xi_t$ называется процессом Орнштейна-Уленбека, если его корреляционная функция $R(t)=\mathbb{E}\xi_{s+t}\bar \xi_s$ имеет вид

$$ \mathbb{E}\xi_{s+t}\bar \xi_s=R(t)=R(0)e^{-\alpha|t|}, \alpha\ge 0 $$

А случайный процесс $\xi_t$ называется марковским, если

$$ \mathbb{E}\left(f(\xi_t|\xi_{t_n},\ldots, \xi_{t_1})\right)=\mathbb{E}\left(f(\xi_t|\xi_{t_n})\right). $$

для произвольных $t_1\le t_2\le\ldots\le t_n\le t$ и борелевской функции $f$.

Проблема показалась мне очень любопытной. Буду рад вашей помощи

[Gorkovchanin]

1. По сравнению с указанной книгой, ваши определения не точны. Процесс ОУ уже гауссовский по определению. В вашей версии записи марковского свойства неверно расставлены скобки. Сравните с первоисточником.

2. Предполагая, что гауссовский процесс - марковский, запишите вид совместной плотности распределения величин $\xi_{t_1}$, $\xi_{t_2}$, ..., $\xi_{t_n}$ через условные (переходные) плотности. Переходная плотность должна быть снова гауссовской с параметрами, зависящими от расстоянием между сечениями. Из марковского свойства получите функциональные уравнения на оба параметра этой гауссовской переходной плотности и решите его. Наконец, вычислите ковариацию.