Полная линейная группа лин. пр-ва и Gl_n(K) Кострикин-манин.

[Duelist]

Так получилось, что в лекциях Городенцева я видел, что обратимые матрицы - это "в точности матрицы линейных изоморфизмов", которые образуют группу $Gl_n(K)$.И я вспомнил, что соответствующая группа линейных изоморфизмов в Кострикине-Манине уже строилась. Я веду конспект и перечитываю всегда конспект, а не учебники. Поэтому увидел запись у себя, что есть "Группа всех автоморфизмов с операцией композиции автоморфизмов". Называется "Полная линейная группа пр-ва $L$". Я понял, что нужно строить группу всех обратимых линейных отображений из $L$ в $L$ и строить изоморфизм её на $Gl_n(K)$. Потому что в конспекте у меня этого не было, а про то, что в учебнике обещалось сделать подобное позже я забыл. Сейчас нашёл, когда вопрос сюда стал задавать, там говорится так:

§3. Линейные отображения. Стр.24.


Прошу проверить, что я сделал. Я не буду переписывать всё подробно. Я постарался, чтобы было компактно, понятно.

Сначала я строил группу всех обратимых эл-тов $\mathscr{L} (L,L)$, обозначим её $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ (так в теории чисел обозначается группа обратимых элементов кольца вычетов). Для этого всё я в К.М. нашёл, кроме того, что обратимы только автоморфизмы. Выкладываю сюда своё док-во.

Если $ f \in \mathscr{L} (L,L)$ обратимо то $f$ - автоморфизм.
Док-во. 1) Из формулы $dim$ $im$ $f = $ $dim$ $L - $ $dim$ $Ker f$ следует, что $f \in \mathscr{L} (L,L)$ инъективно титтк $f$ - сюръективно. 2) Докажем, что если $f,g \in \mathscr{L} (L,L) fg$ - лин. автоморфизм, то $f, g$ - линейные автоморфизмы. а) Пусть $g$ - не сюръективно, тогда $f(im$ $g)=L$, следовательно $f$ - биекция, (по той же формуле) но если $l \notin $ $im$ $ g$, то $\exists l_1 \in$ $im$ $g$, $f(l)=f(l_1)$ - противоречие. Значит $g$ - автоморфизм. б) Пусть $f$ - не сюръективно, тогда, очевидно, $fg$ - не сюръективно - противоречие. Значит $f$ - автоморфизм. 3) Пусть в $\mathscr{L} (L,L) fg = Id_L$, тогда $fg$ - лин. автоморфизм, откуда, согласно 2) следует, что $f$, $g$ - лин. автоморфизмы.

Про обратимые матрицы у Кострикина-Манина практически не написано, докуда дочитал, термин $Gl_n(K)$ увидел у Городенцева. Но я Городенцева не читаю, а только заглядывал пару раз (хотя про определители в Кострикине-Манине не пишется, так что вот на днях буду читать про них у Городенцева). Поэтому решил строить $Gl_n(K)$ через имеющийся в Костр. - Манине изоморфизм ассоциативных алгебр с единицей (хотя и слова "алгебра" там нет, просто знал уже такое понятие) $A: \mathscr{L} (L,L) \rightarrow M_n(K)$.
Вот, как я делал.
1) Легко проверить, что единица $Id_L$ переводится в единицу $E_n$.
2) Другие эл-ты в единицу не переводятся по инъективности изоморфизма.
3) $A_f \cdot A_{f^{-1}} = A_{f \cdot f^{-1}}=A_{Id_L}= E_n$
4) $A_f \cdot A_g = E_n \Leftrightarrow g=f^{-1}$ Действительно, $A_f \cdot A_g = E_n \Rightarrow A_{fg} = E_n \Rightarrow fg=Id_L \Rightarrow f,g \in \mathscr{L} (L,L)^*$ и $g=f^{-1}$ (единственность обр. эл-та в группе).
5) Эл-ты $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ замкнуты относительно композиции и умножения на скаляр, $A_{af} = aA_f, A_f \cdot A_g = A_{fg}$. Таким образом, из 1) - 5) следует, что образ $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ есть группа всех обратимых элементов $M_n(K)$, изоморфная $\mathscr{L} (L,L)^{*}$, причём изоморфизм согласован с умножением на скаляры. Обозначим её $Gl_n(K)$.

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1133404 писал(а):

Вот, как я делал.

Одного я так и не понял: каким правилом вы определили изоморфизм?

[Duelist]

$A_f$ - это матрица линейного отображения $f$. Так в Кострикине-Манине устанавливается изоморфизм между линейными пространствами над полем $K$: $\mathscr{L} (N,M)$ и $M_{m \times n}$, (мн-во матриц эм на эн над полем) $m=$ $dim$ $M$, $n=$ $dim$ $N$. Кострикин-манин. §4. Матрицы. Стр. 28-29.
Потом строится умножение матриц, матрица композиции линейных отображений. И в итоге та же биекция, которая устанавливает выше приведённый изоморфизм линейных пространств, для случая отображения из $\mathscr{L} (L,L)$ со сложением и композицией в множество квадратных матриц размерности $n =$ $dim$ $L$ со сложением и умножением матриц становится изоморфизмом ассоциативных алгебр с единицей. Стр. 31, п.7. "Матрица композиции линейных отображений". Этот же изоморфизм я и использовал.

[Slav-27]

(Оффтоп)

Грибоедова вспомнил.

Насколько я понял:
$L$ -- $n$-мерное векторное пространство над полем $K$;
Вы хотите доказать, что группа автоморфизмов $L$ (групповая операция -- композиция отображений) изоморфна группе обратимых матриц $n\times n$ с элементами из $K$ (групповая операция -- умножение матриц).

Для этого надо:

0. Знать, что и то и это -- группы. (Если вы этого не знаете, то доказывать надо отдельно, перед тем, как начнёте доказывать изоморфность.)

1. Установить взаимно-однозначное соответствие между автоморфизмами $L$ и обратимыми матрицами.
2. Доказать, что при этом соответствии композиция отображений переходит в произведение матриц.

--------------------------------------

Что вы делаете:

• Пытаетесь доказать, что если линейное отображение из $L$ в $L$ обратимо, то оно автоморфизм.

Пытаетесь вы очень странно. Что такое автоморфизм? Это изоморфизм на себя (то есть из $L$ на $L$).
Что такое изоморфизм? Это взаимно-однозначное линейное отображение (Кострикин-Манин пар. 3 п. 6, специально посмотрел).
Что оно из $L$ в $L$ и что оно линейное -- это вы уже знаете. Осталось доказать, что оно взаимно-однозначно. Для этого не требуется то, чем вы там занимаетесь. Может вообще отображение быть обратимо, но не взаимно-однозначно?

• Занимаетесь какими-то алгебрами.

Во-первых, при чём тут алгебры? У вас группы.
Во-вторых: ну ладно, берём отображение, которое осуществляет изоморфизм алгебр. Осталось доказать, что оно композицию в произведение переводит. Где это и зачем всё остальное?

[Duelist]

Slav-27, спасибо за замечания. Извиняюсь, что не имел возможности отвечать сразу.

Slav-27 в сообщении #1133418 писал(а):

Насколько я понял:
$L$ -- $n$-мерное векторное пространство над полем $K$;
Вы хотите доказать, что группа автоморфизмов $L$ (групповая операция -- композиция отображений) изоморфна группе обратимых матриц $n\times n$ с элементами из $K$ (групповая операция -- умножение матриц).

Для этого надо:

0. Знать, что и то и это -- группы. (Если вы этого не знаете, то доказывать надо отдельно, перед тем, как начнёте доказывать изоморфность.)

Не совсем так. Я знаю, что есть группа автоморфизмов. Я не знаю, что есть группа обратимых матриц $n\times n$, я хочу доказать, что они образуют группу, изоморфную группе автоморфизмов.

Slav-27 в сообщении #1133418 писал(а):

Что такое автоморфизм? Это изоморфизм на себя (то есть из $L$ на $L$).
Что такое изоморфизм? Это взаимно-однозначное линейное отображение (Кострикин-Манин пар. 3 п. 6, специально посмотрел).
Что оно из $L$ в $L$ и что оно линейное -- это вы уже знаете. Осталось доказать, что оно взаимно-однозначно.

Я это понимаю.

Slav-27 в сообщении #1133418 писал(а):

Для этого не требуется то, чем вы там занимаетесь. Может вообще отображение быть обратимо, но не взаимно-однозначно?

Я там доказал, что не может быть обратимо. Но не в теоретико-множественном смысле, а в групповом. То есть, что не автоморфизм нельзя умножить (умножение в группе - композиция) на другое линейное отображение из $L$ в $L$ (другой эл-т группы) и получить единицу группы (тождественное отображение в данном случае).

Slav-27 в сообщении #1133418 писал(а):

Во-вторых: ну ладно, берём отображение, которое осуществляет изоморфизм алгебр. Осталось доказать, что оно композицию в произведение переводит. Где это...

Я это написал там явно в пункте 5) первого поста. Написано: $A_f \cdot A_g = A_{fg}$. Но можно было не писать, поскольку это свойство уже заложено в самом изоморфизме, который я не сам придумал, а взял у Кострикина-Манина. Я давал ссылки для Brukvalub в предыдущем посте.

Slav-27 в сообщении #1133418 писал(а):

зачем всё остальное?

Именно затем, что я не знаю, что есть группа всех обратимых матриц. Я там доказываю, что указанный изоморфизм алгебр устанавливает биекцию между всеми обратимыми элементами $\mathscr{L} (L,L)$ и всеми обратимыми элементами $M_n(K)$ (пункты 3), 4) ), откуда, учитывая, что 1) изоморфизм переводит композицию в произведение, 2) все обратимые эл-ты $\mathscr{L} (L,L)$ образуют группу по композиции, следует что все обратимые элементы $M_n(K)$ образуют группу по умножению, изоморфную $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ - группе всех обратимых элементов $\mathscr{L} (L,L)$.
Лишнее я там теперь вижу, да: это пункты 1), 2) и то, что я писал про умножение на скаляры.

[Slav-27]

Duelist в сообщении #1133500 писал(а):

Я не знаю, что есть группа обратимых матриц $n\times n$, я хочу доказать, что они образуют группу, изоморфную группе автоморфизмов.

Всё равно, раз про автоморфизмы знаете, то достаточно сделать биекцию и доказать, что композиция перейдёт в произведение -- а что обратимые матрицы группа, получится как бонус.

Duelist в сообщении #1133500 писал(а):

Я там доказал, что не может быть обратимо. Но не в теоретико-множественном смысле, а в групповом.

Ну и зачем вам оно надо? Очевидно же, что биективные и обратимые отображения множеств -- это одно и то же.

(Оффтоп)

Даже если доказывать как вы доказываете, -- чего делать не требуется, -- там ещё есть что упростить.

Duelist в сообщении #1133500 писал(а):

Я это написал там явно в пункте 5) первого поста. Написано: $A_f \cdot A_g = A_{fg}$.

И правда, что это я...

Duelist в сообщении #1133500 писал(а):

Я там доказываю, что указанный изоморфизм алгебр устанавливает биекцию между всеми обратимыми элементами $\mathscr{L} (L,L)$ и всеми обратимыми элементами $M_n(K)$

Короче, всё, что вам ещё нужно доказать для счастья -- это что отображение, осуществляющее изоморфизм алгебр, переводит автоморфизмы в обратимые матрицы и наоборот. То есть что если для некоторого автоморфизма $f$ есть отображение $g$ такое что $fg=gf=\operatorname{id}$ (а оно у него есть, потому что оно биективно и, следовательно, обратимо), то $A_fA_g=A_gA_f=E$ -- и наоборот. Это, вроде бы, сделал ваш пункт 4 в конце 1-го поста, послушав пункта 1.

[Duelist]

Slav-27 в сообщении #1133526 писал(а):

Всё равно, раз про автоморфизмы знаете, то достаточно сделать биекцию и доказать, что композиция перейдёт в произведение -- а что обратимые матрицы группа, получится как бонус.

Ну я этим с самого начала и занимаюсь.

Slav-27 в сообщении #1133526 писал(а):

Короче, всё, что вам ещё нужно доказать для счастья -- это что отображение, осуществляющее изоморфизм алгебр, переводит автоморфизмы в обратимые матрицы и наоборот. То есть что если для некоторого автоморфизма $f$ есть отображение $g$ такое что $fg=gf=\operatorname{id}$ (а оно у него есть, потому что оно биективно и, следовательно, обратимо), то $A_fA_g=A_gA_f=E$ -- и наоборот. Это, вроде бы, сделал ваш пункт 4 в конце 1-го поста, послушав пункта 1.

Давайте я ещё раз приведу свои пункты и посмотрим, что я там где доказал.

Duelist в сообщении #1133404 писал(а):

1) Легко проверить, что единица $Id_L$ переводится в единицу $E_n$.
2) Другие эл-ты в единицу не переводятся по инъективности изоморфизма.
3) $A_f \cdot A_{f^{-1}} = A_{f \cdot f^{-1}}=A_{Id_L}= E_n$
4) $A_f \cdot A_g = E_n \Leftrightarrow g=f^{-1}$ Действительно, $A_f \cdot A_g = E_n \Rightarrow A_{fg} = E_n \Rightarrow fg=Id_L \Rightarrow f,g \in \mathscr{L} (L,L)^*$ и $g=f^{-1}$ (единственность обр. эл-та в группе).
5) Эл-ты $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ замкнуты относительно композиции и умножения на скаляр, $A_{af} = aA_f, A_f \cdot A_g = A_{fg}$. Таким образом, из 1) - 5) следует, что образ $\mathscr{L} (L,L)^{*}$ есть группа всех обратимых элементов $M_n(K)$, изоморфная $\mathscr{L} (L,L)^{*}$, причём изоморфизм согласован с умножением на скаляры. Обозначим её $Gl_n(K)$.

В пункте 3) я доказал, что обратимые отображения переводятся в обратимые матрицы (учитывая пункт 1). В пункте 4) я доказал, что в обратимые матрицы переводятся только обратимые отображения (учитывая пункты 1 и 2). Пункт 5) написан плохо, достаточно теперь сказать, что обратимые отображения образуют группу по композиции, а указанная биекция переводит композицию в умножение. Всё, вроде, правильно, я надеюсь?

[Slav-27]

В пункте 3 вы доказали, что если отображение обратимо, то его матрица обратима. В пункте 4 вы доказали, что если матрица обратима, то соответствующее ей отображение обратимо.

Вроде всё нормально.

-- 23.06.2016, 22:15 --

Только это... Буковок там много получилось, а смысла не шибко.

Ну сказали вам, что алгебры изоморфны -- значит можете считать, что матрицы и отображения -- одно и то же (пока чем-нибудь специфическим не начнёте заниматься, сумму всех элементов матрицы считать, например).

Учитывая, что обратимость у матриц и у отображений определяется одинаково -- вообще ни о чём эта тема.