Коэффициент прохождения и функция Грина уравнения Шрёдингера

[tech]

Здравствуйте.

Интересует ответ на такой вопрос: можно ли достать коэффициент прохождения через барьер из функции Грина для стационарного уравнения Шрёдингера? Потенциал затухает на $\pm\infty$.

Более чёткая постановка задачи:
Дано: гладкий потенциальный барьер, симметричный относительно точки $x=0$, $U_{\pm\infty}=0$; известна также "энергетическая" функция Грина $G_E(x,x')$
Найти: коэффициент прохождения через барьер.

Вид функции Грина в данной задаче будет следущий:

$$G(x,x';E_0)=\sum_{1,2}\int\limits_0^{+\infty} dE\ \frac{{\psi_E}^*(x){\psi_E}(x)}{E_0-E+i\varepsilon}$$

Суммирование ведётся по двум линейно независимым решениям. В качестве таких решений можно взять волну, налетающую на барьер слева и проходящую направо, и волну, налетающую справа.

Если отнормировать эти решения на $\delta(E-E')$, то они будут выглядеть так (на $\pm\infty$):

$$\psi_1(x)=C(e^{ikx}+re^{-ikx}),\ x\to{-\infty};\ \psi_1(x)=C\cdot te^{ikx},\ x\to{+\infty}$$

$$\psi_2(x)=C(e^{-ikx}+re^{ikx}),\ x\to{+\infty};\ \psi_2(x)=C\cdot te^{-ikx},\ x\to{-\infty}$$

$$|C|^2=\sqrt{\frac{m}{2E}}$$

Таким образом,

$$G(x,x';E_0)=\int\limits_0^{+\infty}dE\ \sqrt{\frac{m}{2E}}(e^{-ikx}+r^* e^{ikx})te^{ikx'}\frac{1}{E_0-E}+\int\limits_0^{+\infty}dE \sqrt{\frac{m}{2E}} (e^{-ikx'}+re^{ikx'})t^* e^{ikx}\frac{1}{E_0-E}$$

А вот что дальше делать, непонятно. Например, вот здесь
http://sites.ifi.unicamp.br/aguiar/files/2013/12/p2567-A48.pdf
функция Грина считается для прямоугольного барьера, и насколько я понял, для её подсчёта сначала сшиваются волновые функции в разных областях, а затем используется явный вид коэффициентов прохождения/отражения. То есть это не то, что нужно мне: мне бы хотелось узнать, возможно ли не производя сшивок в каждом конкретном случае, а зная только функцию Грина для данного потенциала, найти коэффициент прохождения?

[amon]

А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской вантовой механике. Глава IV параграф 8.

[tech]

Спасибо, сейчас гляну.

[Kamaz]

Я бы еще посоветовал Мессиа т2 посмотреть, Глава 19 Раздел I.

[tech]

Прошу прощения за долгое отсутствие – сдавал экзамен.

Я хочу понять, откуда берется коэффициент прохождения в этой статье (здесь ссылка на скачивание pdf)
http://thirdworld.nl/path-integral-approach-to-resonant-tunneling
(сразу после формулы $(10)$: "From the property of the Green's function, the transmission coefficient $T$ is given as...")

Я внимательно изучил рекомендованное amon'ом и Kamaz'ом, но тем не менее, пока что это не помогло понять, почему при экспоненте в функции Грина стоит коэффициент прохождения.

Буду очень благодарен за пояснение.

[Kamaz]

Лень читать все, но мне кажется по определению - если есть точное решение, то получив асимптотическое поведение этого решения на бесконечности в виде плоской убегающей волны, коэффицент при этой экспоненте даст коэф. прохождения (если падающая волна нормирована на единицу). Разве не так?

[tech]

То есть здесь используется тот факт, что функция Грина является решением уравнения Шредингера и когда автор получает функцию Грина в виде плоской волны, он сразу говорит, что при экспоненте стоит коэффициент прохождения (потому что мы знаем, как должно выглядеть решение УШ)?

А до того, как был явно выписан вид функции Грина, можно было понять, что получится обычная плоская волна? Ведь функция Грина не единственна.

А можно ли в самом общем случае (для любого затухающего на бесконечностях потенциала) как-то показать, что функция Грина стационарного УШ, получаемая преобразованием Фурье пропагатора, будет просто плоской волной с множителем-коэффициентом прохождения (то есть просто решением задачи рассеяния в $1D$)?

[Kamaz]

на бесконечности потенциал убывает в ноль, значит и решение должно быть плоской волной (или сферической в 3D). Посмотрите ЛЛ т3 - там коэффицент прохождения находится через точное решение УШ для барьеров определенной формы, для которых находится точное решение. Посмотрите как ЛЛ ищут коэфф. прохождения в этом случае. Если я првильно пмню, то именно так - вычисляют асимптотику решения на бесконечности и - вуаля - множитель перед экспонентой сразу дает прохождение

-- Вт июн 21, 2016 14:50:00 --

ЛЛт3 задачи к параграфу коэффициент прохождения

[tech]

Это понятно, получать коэффициент прохождения, сшивая решения УШ в разных областях (точные или в приближении квазиклассики), я умею.
Но у меня задача стоит по-другому – вытащить коэффициент прохождения из функции Грина.

[Kamaz]

да причем тут сшивка - есть точное решение - волновая функция - от минус бесконечности до плюс бесконечности с потенциальным барьером точно решаемым. Без всяких сшивок!!. Функция Грина фактически и есть волновая функция - вторая переменная там просто параметр.

-- Вт июн 21, 2016 17:08:05 --

еще раз - задача 4 к праграфу коэффициент прохождения ЛЛ т3 стр105 издание 1974г

[tech]

Я посмотрел ЛЛ3; ход действий понятен: находим строгое решение, смотрим асимптотики – они имеют вид падающей, отраженной и прошедшей волн (на разных бесконечностях) – дело сделано.

А сложности у меня вот здесь:

Kamaz в сообщении #1133126 писал(а):

Функция Грина фактически и есть волновая функция - вторая переменная там просто параметр.

В этом месте хотелось бы подробностей и разъяснений. Вот уравнение функции Грина:

$$(\hat{H}-E)G(x,x';E)=\delta(x-x')$$

Общее решение этого уравнения = частное решение неоднородного + общее решение однородного.

Первое, что непонятно, – каковы граничные условия для функции Грина?

Далее, почему когда мы подбираем константы так, чтобы удовлетворить этим гран. условиям, мы получаем решение однородного уравнения с гран. условиями – плоскими волнами?

[Munin]

Шо-то не то. Вы зачем стационарное уравнение Шрёдингера берёте? У него решения бегущими волнами в принципе быть не могут. (Можно найти решения в виде стоячих волн, в том числе на бесконечности, и разложить их на положительную и отрицательную экспоненты, но зачем это всё?)

[Kamaz]

Munin
Ну как-бэ вроде бы когда решаем задачу с прямоугольным барьером тоже берем стационарные решения слева, вниутри и справа от барьера. Ну и вроде как задача стационарная - можно фурьировать по времени, не?

По сабжу. Гм, вначале вы писали что фГр задачи вы знаете. Выразите через нее вф а дальше по ЛЛ. Не получится так?

-- Вт июн 21, 2016 20:50:27 --

последнее предложение - к топикстартеру

-- Вт июн 21, 2016 20:57:01 --

Помню будучи студеном решал задачу о к.прохождения волны в бесконечной одномерной цепочке атомов с одним атомом бОльшей массы. Решал двумя способами - через сшивку функций и через фГрина. И ответы сошлись. Оценку получил и забыл. Никак не могу вспомнить как же я делал тогда...эх! старость - не радость)))

[tech]

Munin
Моя конечная цель – добыть коэффициент прохождения методом функционального интегрирования в квазиклассическом приближении.
С помощью функционального интеграла можно посчитать пропагатор $K(x,x';t)$ в квазиклассическом приближении, далее можно сделать его преобразование Фурье и получить функцию Грина стационарного УШ $G(x,x';E)$, все мои заморочки связаны с тем, как добыть из неё коэффициент прохождения.

Опираюсь я вот на эту статью:

tech в сообщении #1133065 писал(а):

Я хочу понять, откуда берется коэффициент прохождения в этой статье (здесь ссылка на скачивание pdf)
http://thirdworld.nl/path-integral-appr ... -tunneling

(сразу после формулы $(10)$: "From the property of the Green's function, the transmission coefficient $T$ is given as...")

Здесь коэффициент прохождения сидит прямо в функции Грина (причём сама функция Грина представляет собой просто плоскую волну, хотя в общем случае она вроде должна быть составлена из всех решений стационарного УШ сложным образом), и я пытаюсь понять, почему в данном случае так удачно выходит.

В частности, я пока не нашел ответы на эти вопросы:

tech в сообщении #1133148 писал(а):

Вот уравнение функции Грина:

$$(\hat{H}-E)G(x,x';E)=\delta(x-x')$$

Общее решение этого уравнения = частное решение неоднородного + общее решение однородного.

Первое, что непонятно, – каковы граничные условия для функции Грина?

Далее, почему когда мы подбираем константы так, чтобы удовлетворить этим гран. условиям, мы получаем решение однородного уравнения с гран. условиями – плоскими волнами?

Ещё вопрос: что известно про функцию Грина $G(x,x';E)$ в квазиклассическом приближении (это та, которая получается преобразованием Фурье из пропагатора $K(x,x';t)$, посчитанного в квазиклассике)? Может быть, у неё есть какие-то примечательные свойства?

[Munin]

Kamaz
Со стационарными решениями я знаю через сшивку, но через Грина впервые слышу.

-- 21.06.2016 17:20:27 --

tech в сообщении #1133176 писал(а):

С помощью функционального интеграла можно посчитать пропагатор $K(x,x';t)$ в квазиклассическом приближении, далее можно сделать его преобразование Фурье и получить функцию Грина стационарного УШ $G(x,x';E)$

А, вон оно как!