Биекция

[Stasya7]

Спасибо, правда стало попонятнее.
Просто у нас в курсе было только один критерий обратимости оператора - через его биективности. А, если не очень корректно говорить об биективности не всюду определённого отображения, то как его исследовать на обратимость?
Я же склоняюсь к тому, что оно обратимо, так как не вижу прямого нарушения биективности.
Скорее всего, нужно рассматривать его сужение, и уже его исследовать на обратимость?

[Mikhail_K]

Stasya7 в сообщении #1132850 писал(а):

то как его исследовать на обратимость?

Гм. Построить явно обратное отображение и показать, что оно обратное?

-- 19.06.2016, 19:45 --

Это если требуется установить просто обратимость, как в теории множеств. Судя по тому, что Вы говорите про "критерий через биективность", требуется именно это.

Вот если требуется установить непрерывную обратимость, то чуть-чуть посложнее. Но всё равно, вначале строим обратное отображение: двух разных обратных отображений быть точно не может. А потом вспоминаем нормы наших пространств и исследуем это обратное отображение на непрерывность.

[Someone]

Stasya7 в сообщении #1132850 писал(а):

А, если не очень корректно говорить об биективности не всюду определённого отображения, то как его исследовать на обратимость?

В данном случае — прямо определить "обратное" отображение.

Заданное отображение не является отображением $l_2$ в $l_1$, поэтому запись $f\colon l_2\to l_1$ является незаконной. А вот в обратную сторону $g\colon l_1\to l_2$, $g(x)=x$, — вполне законное отображение. Оно биективно или нет?

[Stasya7]

Точно, я что-то зациклилась на этой биективности(
В начале просто обратимость, потом и непрерывную.
А почему нельзя пользоваться критерием непрерывной обратимости?

-- 19.06.2016, 20:53 --

Цитата:

Заданное отображение не является отображением $l_2$ в $l_1$, поэтому запись $f\colon l_2\to l_1$ является незаконной.

А вот несколько сообщений назад мне ответили, что такая запись корректна, что меня и запутало окончательно.

Цитата:

А вот в обратную сторону $g\colon l_1\to l_2$, $g(x)=x$, — вполне законное отображение. Оно биективно или нет?

Нет.

[Someone]

Взаимная однозначность отображения (биективность) является необходимым и достаточным условием (критерием) обратимости. Поэтому от биективности Вы никуда не денетесь (разумеется, возможны условия, непосредственно не упоминающие биективность, из которых эта биективность так или иначе вытекает).

Stasya7 в сообщении #1132856 писал(а):

А почему нельзя пользоваться критерием непрерывной обратимости?

А как его здесь применить? $f\colon l_2\to l_1$, где $f(x)=x$ для $x\in l_2$, — вообще не отображение, не говоря уже о непрерывности.

[Stasya7]

А обратное отображение непрерывно в силу того, что любой элемент из $l1$ принадлежит и $l2$, то есть образы всегда конечные.

[Mikhail_K]

Stasya7 в сообщении #1132856 писал(а):

А вот несколько сообщений назад мне ответили, что такая запись корректна, что меня и запутало окончательно.

Есть разные толкования. Я, например, считаю что запись $f:\,l_2\to l_1$, $f(x)=x$ возможна, и определяет она отображение $f$, действующее из $l_2$ в $l_1$, только не всюду заданное, с областью определения $D(f)=l_1$. Более того, мне часто приходится иметь дело именно с такими не всюду заданными отображениями. Someone, видимо, предпочитает называть эту вещь $f$ как-то иначе, если не хочет называть её отображением $l_2\to l_1$. Это всё спор о терминах.

-- 19.06.2016, 20:12 --

Stasya7 в сообщении #1132867 писал(а):

А обратное отображение непрерывно в силу того, что любой элемент из $l_1$ принадлежит и $l_2$, то есть образы всегда конечные.

Хотелось бы как-то убедительнее. Вы проходили определение линейного непрерывного оператора в линейных пространствах и его связь с ограниченностью? Если да, надо это использовать. Если нет, то видимо этот вопрос Вам пока что нужно оставить в стороне.

[Someone]

(Mikhail_K)

Mikhail_K в сообщении #1132868 писал(а):

Есть разные толкования.

Может быть, но я к такому не привык. Хотя, вроде бы, с такими частичными линейными операторами сталкивался, когда, будучи студентом, изучал квантовую механику. Но там не писали $A\colon H\to H$. Я понимаю, конечно, что в таких случаях явно указывать точную область определения каждого оператора будет весьма тяжело, поэтому нужно либо использовать какие-то упрощённые обозначения, либо просто сформулировать это словами и больше об этом не говорить ( что-нибудь типа "предполагается, что все рассматриваемые операторы определены на некотором всюду плотном подпространстве гильбертова пространства $H$").

Однако сильно сомневаюсь, что это имеет отношение к рассматриваемой задаче.

[Stasya7]

Норма обратного отображения не превосходит 1 на единичном шаре из $l_1$, следовательно ограничено, следовательно непрерывно.

[Lia]

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

И начинают тыкать в определения.

Выбирайте тон. Если у Вас спрашивают определения - так это потому, что, во-первых, было замечено, что Вы в них путаетесь. А во-вторых, потому, что определения обратимости бывают разные - и какое было у Вас, никто не знает. В трех источниках, просмотренных мной (среди которых Колмогоров, Фомин), биективность в явном виде не участвует.

Далее,

Stasya7 в сообщении #1132856 писал(а):

Цитата:

Заданное отображение не является отображением $l_2$ в $l_1$, поэтому запись $f\colon l_2\to l_1$ является незаконной.

А вот несколько сообщений назад мне ответили, что такая запись корректна, что меня и запутало окончательно.

принято писать и так, и эдак. Если Вы не поленитесь открыть того же Колмогорова, Вам нетрудно будет в этом убедиться. Он пишет из всего пространства во все пространство, безотносительно к тому, каков образ оператора и какова область определения. А Колмогоров считается, все же, за некий эталон. Поэтому я и говорю, опять же, смотрите в лекциях. Либо у Вас определение обратимости было на языке биективности - но тогда между образом и областью определения, а не пространствами, либо уж Вам писали отображение из всего пространства во все - но тогда и определение обратимости было другое, - одно из двух.

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

(для тех, кто начнёт писать, мол, предоставьте свои попытки решения).

Те, кто так пишет, справедливо (как выяснилось), подозревают, что следующим действием пойдет непрерывность, а там, глядишь, компактность, замкнутость и еще чего-нибудь. Поэтому Вы их окончательно убедили в их правоте. Очередная подобная тема пойдет в Карантин при попытке выхода на другой виток обсуждения.