Силы Лоренца и Ампера

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Помогите пожалуйста с задачкой, поправьте если не прав. Задача: Два параллельных проводящих стержня расположены в горизонтальной плоскости на расстоянии $ l $ друг от друга. Стержни помещены в вертикальное магнитное поле с индукцией $B$ и замкнуты лежащей на них перемычкой массой $m$. При подключении к стержням источника тока с внутренним сопротивлением $r$ перемычка начинает скользить вдоль них, трогаясь с места с ускорением $a$. Какой максимальной скорости может достичь перемычка? Сопротивлением стержней, перемычки и контактов пренебречь.

В момент включения источника внешней эдс, через перемычку потечет ток и перемычка начнет двигаться под действием силы Ампера: $F_A = BIl$. С другой стороны по 2-му закону Ньютона, т.к. известно ускорение в первый момент: $ma = F_A$, отсюда: $ I = \frac{ma}{Bl}$. По мере ускорения перемычки на заряды в ней начнет действовать сила Лоренца, двигая заряды в противоположном по отношению к первичному току направлении, и создавая противоположный ток: $ I_L = \frac{\xi_L}{r}$, где: "эдс Лоренца": $\xi_L $ найдем из условий: $ F_L = B e v, F_L = E e, \xi_L = E l $, отсюда: $ I_L = \frac{Bvl}{r}$, где: $ e , v $ - элементарный заряд и мгновенная скорость перемычки соответственно, тогда из 2-го Ньютона:

$ ma(t) = Bl(I - I_L) = ma - \frac{B^2l^2v}{r}$, максимальной скорости (она же установившаяся) перемычка достигнет при $a(t) = 0$, т.е.: $ v = \frac{mar}{B^2 l^2}$. Наличие установившегося режима следует из разных знаков при: $ma(t) $ и $ - \frac{B^2l^2v}{r}$, т.е. увеличение скорости повлечет уменьшение ускорения и наоборот. Все ли верно?

[Munin]

ЭДС обозначается не $\xi,$ а $\mathcal{E}.$

[Stensen]

Munin в сообщении #1132493 писал(а):

ЭДС обозначается не $\xi,$ а $\mathcal{E}.$

А где такую найти? В LaTeXe не нашел.
А по задаче то прокомментируйте пожалуйста.

[Munin]

Stensen в сообщении #1132505 писал(а):

А где такую найти? В LaTeXe не нашел.

Ну как это, я же вот только что написал. Наведите мышку, и увидите код. \mathcal - это "каллиграфический" шрифт заглавных букв, есть ещё \mathscr (script) немного другого начертания: $\mathscr{E}.$

-- 17.06.2016 23:25:33 --

Stensen в сообщении #1132505 писал(а):

А по задаче то прокомментируйте пожалуйста.

Если у вас получается выражение из одних умножений и делений, и по размерности оно годится, - то похоже на правду :-)

[svv]

С размерностями проблемы. Из ответа следует $B^2 = \frac{mar}{v l^2}$. Если Вы решали в СИ, как может быть одна и та же размерность у «электромагнитной» величины $B^2$ и у комбинации механических величин? Если в СГС, где в решении множители $c$?

Но если не обращать внимания на эти мелочи, у меня получилось то же.

[Munin]

svv
$r$ - сопротивление, а не радиус :-)

[svv]

Вы правы. Заскок.

[Stensen]

Всем спасибо.

[AnatolyBa]

Хотя ответ правильный, несколько моментов могут привести к ошибкам в других обстоятельствах.
1. ЭДС, которую вы называете ЭДС Лоренца, можно вычислять, как это сделали вы, но часто проще и лучше использовать закон Фарадея $\dfrac{d\Phi}{dt}=B l v$
2. ЭДС можно складывать и вычитать, а вот то, что вы сделали с токами работает только для линейных схем. В учебных заданиях это действительно часто так, но не всегда.
3. Вы не учитываете ЭДС самоиндукции. Это правильно для установившегося движения, но писать явную зависимость от времени $a(t)$ - это неточность

[Munin]

svv
Я сам на том же попался :-)

[Stensen]

AnatolyBa в сообщении #1132609 писал(а):

2. ЭДС можно складывать и вычитать, а вот то, что вы сделали с токами работает только для линейных схем.

Не совсем понятно, приведите пжлста пример ситуации, в которой сумма токов не сработает. Про эдс понятно.

AnatolyBa в сообщении #1132609 писал(а):

3. Вы не учитываете ЭДС самоиндукции. Это правильно для установившегося движения, но писать явную зависимость от времени $a(t)$ - это неточность

Здесь тоже не совсем понятно. Здесь нужно учитывать эдс самоиндукции? И какая связь с зависимостью $a(t)$ ?

[AnatolyBa]

Stensen в сообщении #1132907 писал(а):

приведите пжлста пример ситуации, в которой сумма токов не сработает

Ну представьте себе, что у вас не обычное линейное внутреннее сопротивление источника $r$, а какой-то нелинейный элемент $U=U(I)$. Как бы вы рассуждали?
Я бы рассуждал так. Скорость в установившемся движении постоянная, следовательно ускорение равно нулю, следовательно ток равен нулю (идеальный случай, конечно, трение не учитывается), следовательно ЭДС создаваемая увеличивающимся потоком $B l v$ равна начальной ЭДС в цепи. Ну а начальная ЭДС находится из начального ускорения.

Stensen в сообщении #1132907 писал(а):

Здесь нужно учитывать эдс самоиндукции? И какая связь с зависимостью $a(t)$ ?

В установившемся режиме не нужно, т. е. ответ у вас правильный, но предположим задача заключалась бы в определении зависимости ускорения от времени $a(t)=\frac{B l I(t)}{m}$. А в уравнении для тока в неустановившемся режиме самоиндукцию учитывать надо (причем индуктивность не постоянна) $\mathcal{E}_0=r I(t) + B l v(t) + \dfrac{d(L_{\text{самоиндукции}}(t) I(t))}{dt}$
Вообще-то, конечно, в данной задаче с самого начала предполагается, что самоиндукцией можно пренебречь (иначе начальное ускорение было бы равно нулю), так что, возможно, я слишком строг. С другой стороны, индукция мала в начальный момент, но затем увеличивается, правда ток уменьшается, так что поведение $L(t) I(t)$ надо бы исследовать тщательнее (я имею в виду в реальных, не учебных задачах

[Батороев]

(Оффтоп)

Рельсотрон, однако?

[Stensen]

Спасибо, пока понятно.