Доказать неравенство

[SpBTimes]

Добрый день! Столкнулся со следующим неравенством, и не могу к нему подступиться.
Пусть $f, g \in R[a; b]$, $f$ убывает и $0 \leq g \leq 1$, а так же $c = \int_a^bg(x) dx$. Доказать, что

$$ \int_{b-c}^b f(x)dx \leq \int_a^bf(x)g(x)dx \leq \int_a^{a + c}f(x) dx $$

[Human]

Похоже, получилось. Проверьте.

$\displaystyle\int\limits_{a+c}^bf(x)g(x)\,dx\leqslant f(a+c)\int\limits_{a+c}^bg(x)\,dx=f(a+c)\left(c-\int\limits_a^{a+c}g(x)\,dx\right)=$

$\displaystyle=f(a+c)\int\limits_a^{a+c}(1-g(x))\,dx\leqslant\int\limits_a^{a+c}f(x)(1-g(x))\,dx$

Для левого неравенства аналогично. Красиво!

[TelmanStud]

Human
Ну и наверно отметить надо, что $b>c+a$.

[Otta]

Не надо отмечать. Все, что нужно, следует из условий.

[TelmanStud]

Otta
Да виноват..неявно это указано(.

[SpBTimes]

Human

очень здорово! Спасибо!