2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение12.06.2016, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Добрый день! Столкнулся со следующим неравенством, и не могу к нему подступиться.
Пусть $f, g \in R[a; b]$, $f$ убывает и $0 \leq g \leq 1$, а так же $c = \int_a^bg(x) dx$. Доказать, что
$$
\int_{b-c}^b f(x)dx \leq \int_a^bf(x)g(x)dx \leq \int_a^{a + c}f(x) dx
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение12.06.2016, 21:04 
Аватара пользователя


20/03/12
139
Похоже, получилось. Проверьте.

$\displaystyle\int\limits_{a+c}^bf(x)g(x)\,dx\leqslant f(a+c)\int\limits_{a+c}^bg(x)\,dx=f(a+c)\left(c-\int\limits_a^{a+c}g(x)\,dx\right)=$

$\displaystyle=f(a+c)\int\limits_a^{a+c}(1-g(x))\,dx\leqslant\int\limits_a^{a+c}f(x)(1-g(x))\,dx$

Для левого неравенства аналогично. Красиво!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.06.2016, 02:35 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Human
Ну и наверно отметить надо, что $b>c+a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.06.2016, 02:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не надо отмечать. Все, что нужно, следует из условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.06.2016, 02:48 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Otta
Да виноват..неявно это указано(.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.06.2016, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Human

очень здорово! Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group