Мера интегрирования для группы вращений

[Metford]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с инвариантной мерой интегрирования для группы вращений. Я ориентируюсь на вывод, приведённый в книге М. Хамермеша "Теория групп и её применение к физическим проблемам" (глава 9, параграф 2 по изданию 2010 года).

Насколько я понимаю, используется представление поворотов вектором, направление которого задаёт ось вращения, а модуль - угол поворота $\varphi$. Тогда получается интегрирование, как по шару радиусом $\pi$ в сферических координатах: $\varphi^2d\varphi d\Omega$. Нужно найти весовую функцию - там вроде всё понятно, в конце концов мера получается $\frac{1}{4\pi^2}(1-\cos\varphi)d\varphi d\Omega$. Она уже нормирована, чтобы объём группы единичный был.
Но вот есть книга Д.А. Шапиро "Конспект лекций по математическим методам физики" - это из НГУ, насколько я понимаю (не знаю, насколько известная книга; файл, если нужно, могу предоставить). Там выводится довольно интересно теорема Клебша-Гордана для группы вращений - исходя из соотношения ортогональности для характеров. Вывод использует вот эту меру интегрирования, но интеграл по углу вычисляется от нуля до $2\pi$ почему-то. У того же Хамермеша предполагается - и это мне понятно - интегрирование только до $\pi$.
Но если интегрировать до $\pi$, то доказательство не получится. Не понимаю, как разрешить противоречие.

И кстати, заодно: нет ли другого вывода меры интегрирования в такой форме, чем у Хамермеша?

[Munin]

Копайтесь в том, как именно введены сферические координаты там и сям. Это вопрос соглашений, по которому есть большой разнобой.

Кроме того, группа вращений - не сфера, а полусфера. Не забывайте об этом.

[Metford]

Munin в сообщении #1131835 писал(а):

Копайтесь в том, как именно введены сферические координаты там и сям. Это вопрос соглашений, по которому есть большой разнобой.

Я бы с удовольствием, да вот у Шапиро вообще ничего раньше не сказано о введении меры. Совсем ничего. Я поэтому и спросил в том числе, нет ли других источников. В других книгах, попадавшихся мне в руки, мера вообще строилась, исходя из углов Эйлера. А это мне совсем не подходит.

Munin в сообщении #1131835 писал(а):

группа вращений - не сфера, а полусфера.

Сфера?.. Я её воспринимал как шар с отождествлёнными диаметрально противоположными точками границы... Или Вы о трёхмерной сфере? В смысле половины от неё, извините за выражение?

[Munin]

Да, конечно, о трёхмерной сфере. Именно думая о ней как о сфере, естественно считать её меру - ведь площадь сферы и любого её кусочка вы себе натурально представляете.

[Metford]

Кстати, я что-то раньше не подумал... Нельзя ли меру интегрирования на $SO(3)$ определить, отталкиваясь от расслоения Хопфа? Ведь трёхмерная сфера расслаивается на двумерной со слоем окружностью. Вот и взять элемент площади сферы $S^2$ на длину малой дуги единичной окружности $d\varphi$ - как раз получится та же мера, что и через углы Эйлера.

Вот это я себе хоть как-то представить могу (в отличие от просто трёхмерной сферы )

[Munin]

Наверняка можно. Осталось взять параметризацию этого расслоения.